(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\left(2+5 x^{20}+x^{21}\right)^{39}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\left(2+5x^{20}+x^{21}\right)^{39}.
Informações dadas:
  • A função é uma composição: uma expressão interna 2+5x^{20}+x^{21} elevada à potência 39.
  • Preciso calcular a derivada em relação a x.

Passo 2

Vou explicar a regra que vou usar: a regra da cadeia (chain rule) combinada com a regra da potência.
Regra da potência (caso simples): para u(x)=x^{n},
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr) = n\,x^{n-1}.
Mais geral, se u é uma função de x temos a forma da regra da cadeia:
Regra da cadeia: se f(x)=h(g(x)), então
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
No caso em que h(u)=u^{39} (potência) e g(x)=2+5x^{20}+x^{21}, a combinação dá
f'(x)=39\bigl(g(x)\bigr)^{38}\cdot g'(x).
Aqui explicando cada símbolo:
  • g(x) é a função interna 2+5x^{20}+x^{21}.
  • h(u)=u^{39} é a função externa em u.
  • h'(u)=39u^{38} pela regra da potência.
  • Depois multiplica-se por g'(x), a derivada da parte interna.

Passo 3

Agora calculo g'(x) onde g(x)=2+5x^{20}+x^{21}.
Uso linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra da potência para cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}(2)=0 porque constante tem derivada zero.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{20}\bigr)=5\cdot\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{20}\bigr)=5\cdot 20 x^{19}=100 x^{19}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{21}\bigr)=21 x^{20}.
Somando,
g'(x)=100 x^{19}+21 x^{20}.
Posso fatorar um fator comum x^{19}:
g'(x)=x^{19}\bigl(100+21x\bigr).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia que expliquei no Passo 2:
f'(x)=39\bigl(2+5x^{20}+x^{21}\bigr)^{38}\cdot\bigl(100 x^{19}+21 x^{20}\bigr).

Passo 5

Faço uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais enxuta: fatoro x^{19} no segundo fator e deixo tudo organizado:
f'(x)=39\,x^{19}\bigl(100+21x\bigr)\bigl(2+5x^{20}+x^{21}\bigr)^{38}.
Essa forma é conveniente porque evidencia fatores comuns e evita multiplicações desnecessárias na prova.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido (como aplicar na prova):
  • Identifique a função externa u^{39} e a interna g(x).
  • Derive a externa usando a potência: dá 39 u^{38}.
  • Derive a interna termo a termo com a regra da potência.
  • Multiplique os resultados (cadeia).
    Exemplo parecido e mais simples: para h(x)=(3+x^{2})^{5} tem-se h'(x)=5(3+x^{2})^{4}\cdot 2x =10x(3+x^{2})^{4}.

Resposta

f'(x)=39\,x^{19}\bigl(100+21x\bigr)\bigl(2+5x^{20}+x^{21}\bigr)^{38}.

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