(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a derivada
da função
Informações dadas:
- A função é uma composição: uma expressão interna
elevada à potência . - Preciso calcular a derivada em relação a
.
Passo 2
Vou explicar a regra que vou usar: a regra da cadeia (chain rule) combinada com a regra da potência.
Regra da potência (caso simples): para
,
Mais geral, se
é uma função de
temos a forma da regra da cadeia:
Regra da cadeia: se
, então
No caso em que
(potência) e
, a combinação dá
Aqui explicando cada símbolo:
-
é a função interna . -
é a função externa em . -
pela regra da potência. - Depois multiplica-se por
, a derivada da parte interna.
Passo 3
Agora calculo
onde
.
Uso linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra da potência para cada termo:
-
porque constante tem derivada zero. -
. -
.
Somando,
Posso fatorar um fator comum
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia que expliquei no Passo 2:
Passo 5
Faço uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais enxuta: fatoro
no segundo fator e deixo tudo organizado:
Essa forma é conveniente porque evidencia fatores comuns e evita multiplicações desnecessárias na prova.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido (como aplicar na prova):
- Identifique a função externa
e a interna . - Derive a externa usando a potência: dá
. - Derive a interna termo a termo com a regra da potência.
- Multiplique os resultados (cadeia).
Exemplo parecido e mais simples: paratem-se .