A posição de um objeto em deslocamento retilíneo é a expressão \mathrm{P}=\mathrm{t}^{3}-\frac{1}{2} \mathrm{t}^{2}+8 \mathrm{t}+20(\mathrm{SI}).
Pede-se:
a) A expressão de velocidade em função do tempo.
b) A expressão da aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um objeto em movimento retilíneo como função do tempo:
P(t)=t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+8t+20\quad(\text{SI})
As perguntas são:
a) Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
b) Encontrar a expressão da aceleração em função do tempo.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
  • A posição P é dada por um polinômio em t.
  • A unidade é do Sistema Internacional (logo t em segundos, P em metros, por exemplo).
  • Não há outros dados numéricos a calcular além das expressões pedidas.

Passo 2

O que significa “velocidade em função do tempo” e como se obtém?
  • Velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de P(t) em relação a t: \;v(t)=\dfrac{dP}{dt}.
  • Aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; ou seja, a derivada da velocidade: \;a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}P}{dt^{2}}.
Regras de derivação que vamos usar (explicando de forma simples):
  • Regra do polinômio (power rule): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Exemplo: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
  • Regra da constante multiplicativa: \dfrac{d}{dt}\bigl(c\cdot f(t)\bigr)=c\cdot f'(t). Exemplo: \dfrac{d}{dt}\bigl(8t\bigr)=8\cdot\dfrac{d}{dt}(t)=8.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas: \dfrac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=f'(t)+g'(t).
  • A derivada de uma constante (número sem t) é zero: \dfrac{d}{dt}(20)=0.
Vou aplicar essas regras termo a termo no polinômio dado.

Passo 3

Derivando termo a termo para obter a velocidade v(t)=\dfrac{dP}{dt}:
  • Para \;t^{3}: usando a regra do polinômio, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
  • Para -\dfrac{1}{2}t^{2}: a constante -\dfrac{1}{2} sai na frente e \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, então \dfrac{d}{dt}\Bigl(-\dfrac{1}{2}t^{2}\Bigr)=-\dfrac{1}{2}\cdot 2t=-t.
  • Para 8t: \dfrac{d}{dt}(8t)=8\cdot \dfrac{d}{dt}(t)=8.
  • Para 20: \dfrac{d}{dt}(20)=0.
Somando as derivadas dos termos:
v(t)=3t^{2}-t+8.
Comentário prático: a unidade de v(t) será metros por segundo (m/s) se P estava em metros e t em segundos.

Passo 4

Agora a aceleração a(t) é a derivada de v(t): \;a(t)=\dfrac{dv}{dt}.
Usando novamente as regras de derivação sobre v(t)=3t^{2}-t+8:
  • Para 3t^{2}: \dfrac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2t=6t.
  • Para -t: \dfrac{d}{dt}(-t)=-1.
  • Para 8: \dfrac{d}{dt}(8)=0.
Somando:
a(t)=6t-1.
A unidade de a(t) será metros por segundo ao quadrado (m/s^{2}) se as unidades iniciais eram metros e segundos.

Passo 5

Pequena verificação rápida (sanidade): para checar mentalmente, ao derivar um polinômio o grau cai em 1 a cada derivada; começamos com grau 3 em P(t), v(t) ficou grau 2 e a(t) ficou grau 1 — está coerente.
Força extra de ânimo: derivadas de polinômios são operações mecânicas e previsíveis — com a prática vira automático. Vai dar certo na prova!

Resposta

v(t)=3t^{2}-t+8
a(t)=6t-1

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