A posição de um objeto em deslocamento retilíneo é a expressão
.
Pede-se:
a) A expressão de velocidade em função do tempo.
b) A expressão da aceleração em função do tempo.
Pede-se:
a) A expressão de velocidade em função do tempo.
b) A expressão da aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a posição de um objeto em movimento retilíneo como função do tempo:
As perguntas são:
a) Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
b) Encontrar a expressão da aceleração em função do tempo.
a) Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
b) Encontrar a expressão da aceleração em função do tempo.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
- A posição
é dada por um polinômio em . - A unidade é do Sistema Internacional (logo
em segundos, em metros, por exemplo). - Não há outros dados numéricos a calcular além das expressões pedidas.
Passo 2
O que significa “velocidade em função do tempo” e como se obtém?
- Velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de em relação a : . - Aceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; ou seja, a derivada da velocidade: .
Regras de derivação que vamos usar (explicando de forma simples):
- Regra do polinômio (power rule):
. Exemplo: . - Regra da constante multiplicativa:
. Exemplo: . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas:
. - A derivada de uma constante (número sem
) é zero: .
Vou aplicar essas regras termo a termo no polinômio dado.
Passo 3
Derivando termo a termo para obter a velocidade
:
- Para
: usando a regra do polinômio, . - Para
: a constante sai na frente e , então - Para
: . - Para
: .
Somando as derivadas dos termos:
Comentário prático: a unidade de
será metros por segundo (m/s) se
estava em metros e
em segundos.
Passo 4
Agora a aceleração
é a derivada de
:
.
Usando novamente as regras de derivação sobre
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando:
A unidade de
será metros por segundo ao quadrado (m/s^{2}) se as unidades iniciais eram metros e segundos.
Passo 5
Pequena verificação rápida (sanidade): para checar mentalmente, ao derivar um polinômio o grau cai em 1 a cada derivada; começamos com grau 3 em
,
ficou grau 2 e
ficou grau 1 — está coerente.
Força extra de ânimo: derivadas de polinômios são operações mecânicas e previsíveis — com a prática vira automático. Vai dar certo na prova!