Achar as integrais:
integral d x(x-1) raizx^2-2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx(x-1)raizx^2-2. Vamos usar trigonometria (substituição do tipo secante) para eliminar a raiz e depois aplicar uma fórmula padrão de integração. Precisaremos:
– saber que para x=raiz2,sectheta temos raizx^2-2=raiz2,tantheta e dx=raiz2,sectheta,tantheta,dtheta.
– a fórmula integraldthetaa-costheta=2raiza^2-1arctanl(raiza+1a-1tantheta2r)+C.

Passo 2

Fazendo a substituição x=raiz2sectheta temos:
dx=raiz2secthetatantheta,dtheta,raizx^2-2=raiz2tantheta
Então o integrando vira:
dx(x-1)raizx^2-2= raiz2secthetatantheta,dtheta(raiz2sectheta-1),raiz2tantheta =dthetaraiz2-costheta

Passo 3

Agora usamos a fórmula padrão para integraldthetaa-costheta com a=raiz2. Como raiza^2-1=1 e
raiza+1a-1=raizraiz2+1raiz2-1=1+raiz2,
nosso resultado em theta é
$$
2\arctan\Bigl((1+\sqrt{2})\tan\tfrac{\theta}{2}\Bigr)+C.
$$

Passo 4

Para voltar a x, usamos
costheta=raiz2x, sintheta=raizx^2-2x, tantheta2=sintheta1+costheta=raizx^2-2x+raiz2
Substituindo em 2arctan((1+raiz2)tan(theta/2)) obtemos a resposta em termos de x.

Resposta

2arctanl((1+raiz2)raizx^2-2x+raiz2r)+C

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