Calcule as seguintes integrais indefinidas:
17a
integral sen(4 theta) cos (theta) d theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integralsin(4theta)cos(theta),dtheta. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades para transformar o produto em soma de senos.

Passo 2

Para simplificar a integral, aplicamos a identidade de produto-soma:
sin Acos B=tfrac12l(sin(A+B)+sin(A-B)r)
Com A=4theta e B=theta, temos:
sin(4theta)cos(theta)=tfrac12l(sin(5theta)+sin(3theta)r)

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integralsin(4theta)cos(theta),dtheta =tfrac12integrall(sin(5theta)+sin(3theta)r)dtheta =tfrac12l(integralsin(5theta)dtheta+integralsin(3theta)dthetar)

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando integralsin(ktheta)dtheta=-tfrac1kcos(ktheta)+C:
tfrac12integralsin(5theta)dtheta=-tfrac12cdottfrac15cos(5theta)=-tfrac110cos(5theta),
tfrac12integralsin(3theta)dtheta=-tfrac12cdottfrac13cos(3theta)=-tfrac16cos(3theta)

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, temos a resposta final:
integralsin(4theta)cos(theta),dtheta = -tfrac110cos(5theta)-tfrac16cos(3theta)+C

Resposta

-tfrac110cos(5theta)-tfrac16cos(3theta)+C

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