Seja f(x, y)=y^4-8 y^2+2 x^3-6 x+1. Encontre:
© os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = y^{4} - 8y^{2} + 2x^{3} - 6x + 1 $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de várias variáveis para encontrar seus máximos, mínimos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualá-las a zero e analisar a segunda derivada para classificar os pontos encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, resolver o sistema:
6x^2 - 6 = 0 4y^3 - 16y = 0
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para $ f_{x}(x, y) = 0 $:
fx(x, y) = 0
Para $ f_{y}(x, y) = 0 $:
6x^2 - 6 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1

Passo 4

Com as soluções das equações, os pontos críticos são todas as combinações de $ x $ e $ y $ que satisfazem ambas as equações simultaneamente:
x

Passo 5

Para classificar os pontos críticos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 12y^2 - 16
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D
Agora, avaliamos $ D $ em cada ponto crítico:
  1. Ponto (1, 0):
    D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  2. Ponto (-1, 0):
    D á
  3. Ponto (1, 2):
    fxx = 12(1) = 12 fyy = 12(0)^2 - 16 = -16 D = 12 times (-16) - 0 = -192 < 0 í
  4. Ponto (1, -2):
    D < 0 í
  5. Ponto (-1, 2):
    fxx = 12(-1) = -12 fyy = 12(0)^2 - 16 = -16 D = (-12) times (-16) - 0 = 192 > 0 fxx = -12 < 0 Rightarrow Máximo relativo
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  6. Ponto (-1, -2):
    fxx = 12(1) = 12 fyy = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 D = 12 times 32 - 0 = 384 > 0 fxx = 12 > 0 Rightarrow Mínimo relativo
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) $ são:
  • (1, 0): Ponto de sela.
  • (-1, 0): Máximo relativo.
  • (1, 2): Mínimo relativo.
  • (1, -2): Mínimo relativo.
  • (-1, 2): Ponto de sela.
  • (-1, -2): Ponto de sela.

Exercícios relacionados