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© os pontos críticos de
e classifique-os.
© os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = y^{4} - 8y^{2} + 2x^{3} - 6x + 1 $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de várias variáveis para encontrar seus máximos, mínimos e pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualá-las a zero e analisar a segunda derivada para classificar os pontos encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, resolver o sistema:
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para $ f_{x}(x, y) = 0 $:
Para $ f_{y}(x, y) = 0 $:
Passo 4
Com as soluções das equações, os pontos críticos são todas as combinações de $ x $ e $ y $ que satisfazem ambas as equações simultaneamente:
Passo 5
Para classificar os pontos críticos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
O discriminante $ D $ é dado por:
Agora, avaliamos $ D $ em cada ponto crítico:
-
Ponto (1, 0):Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
-
Ponto (-1, 0):
-
Ponto (1, 2):
-
Ponto (1, -2):
-
Ponto (-1, 2):Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
-
Ponto (-1, -2):Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) $ são:
- (1, 0): Ponto de sela.
- (-1, 0): Máximo relativo.
- (1, 2): Mínimo relativo.
- (1, -2): Mínimo relativo.
- (-1, 2): Ponto de sela.
- (-1, -2): Ponto de sela.