Encontre as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa que tenha 12 litros de volume e que use a menor quantidade de material.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa que tenha um volume de 12 litros e que use a menor quantidade de material possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente otimização. A gente vai precisar entender como calcular o volume e a área de superfície de um cilindro, e depois encontrar as dimensões que minimizam essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos precisar. O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
V
onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cilindro.
A área de superfície $ A $ de um cilindro com tampa (ou seja, com a base e a tampa) é:
V = pi r^2 h
Aqui, $ 2\pi r h $ representa a área lateral (a parte cilíndrica) e $ 2\pi r^2 $ representa as áreas da base e da tampa.

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar a área $ A $, mantendo o volume $ V $ constante em 12 litros. Primeiro, vamos converter 12 litros para centímetros cúbicos, já que as unidades precisam ser compatíveis:
A
Então,
V

Passo 4

Vamos resolver a equação do volume para $ h $:
h
Agora, substituímos $ h $ na fórmula da área $ A $:
h = 12.000pi r^2
Simplificando:
h

Passo 5

Agora, temos a área em função apenas do raio $ r $:
r
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos calcular a derivada de $ A $ em relação a $ r $ e igualar a zero:
A(r) = 24.000r + 2pi r^2

Passo 6

Resolvendo a equação derivada:
-24.000r^2 + 4pi r = 0
Isolando os termos:
4pi r = 24.000r^2
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
r^2
Dividindo ambos os lados por $ 4\pi $:
4pi r^3 = 24.000
Calculando $ r $:
4pi

Passo 7

Agora que temos o valor de $ r $, vamos encontrar a altura $ h $ usando a equação do volume:
r
Substituindo $ r \approx 1,24 cm $:
h

Resposta

As dimensões da lata são aproximadamente raio r = 1,24 cm e altura h = 2,48 cm para que a lata tenha um volume de 12 litros utilizando a menor quantidade de material.

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