Achar as integrais:
integral d xx^2+2 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integraldxx^2+2x+5. Esse tipo de integral de razão de polinômios em que o denominador é um quadrático irreduzível a zero envolve completar o quadrado e usar a fórmula da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, a gente completa o quadrado no denominador para deixar a parábola numa forma padrão. Temos:
x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4

Passo 3

Agora, fazemos a substituição u = x+1, de onde du = dx. Assim a integral vira:
integral dx(x+1)^2+2^2 = integral duu^2+2^2

Passo 4

Aí usamos a fórmula padrão
integral duu^2+a^2 = 1aarctanl(tfracuar) + C,
com a=2. Logo
integral duu^2+2^2 = 12arctanl(tfracu2r) + C
Voltando a variável x, substituímos u=x+1 de volta.

Passo 5

Pronto! A integral fica expressa em termos da arco-tangente depois de completar o quadrado e usar a fórmula padrão.

Resposta

12arctanl(x+12r) + C

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