Achar as integrais:
integral d xx raizx^2+x-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxx,raizx^2 + x -1. Aqui o conteúdo é integração envolvendo raiz quadrada de um polinômio de segundo grau, e vamos usar uma substituição trigonométrica após completar o quadrado em x^2 + x -1.

Passo 2

Primeiro, complete o quadrado em x^2 + x -1:
x^2 + x - 1 = l(x + tfrac12r)^2 - tfrac54
Logo podemos tomar
x + tfrac12 = tfracraiz52,sectheta,
pois sec^2theta - 1 = tan^2theta vai gerar a diferença certa.

Passo 3

Com essa escolha, temos:
x &= tfracraiz52sectheta - tfrac12, raizx^2 + x -1 &= tfracraiz52tantheta, dx &= tfracraiz52secthetatantheta,dtheta
Substituindo na integral:
integral dxxraizx^2+x-1 = integral (raiz52secthetatantheta)dthetal(raiz52sectheta-12r)l(raiz52tanthetar) = integral secthetaraiz52sectheta-12,dtheta = integral 2secthetaraiz5sectheta -1,dtheta

Passo 4

Para simplificar, note que
secthetaraiz5sectheta -1 = 1/costheta(raiz5/costheta)-1 = 1raiz5 - costheta ,
então
integral 2secthetaraiz5sectheta -1,dtheta = 2integral dthetaraiz5 - costheta
Usamos agora a fórmula padrão
integral dthetaa + bcostheta = 2raiza^2-b^2,arctanl(raiztfraca-ba+btantfractheta2r)+C
com a=raiz5 e b=-1. Isso dá
2integral dthetaraiz5 - costheta = 2cdot 2raiz5-1,arctanl(raiztfracraiz5+1raiz5-1tantfractheta2r)+C =2,arctanl(tfracraiz5+12tantfractheta2r)+C

Passo 5

Para voltar a x, usamos as identidades de ângulo metade. Da substituição temos
costheta = raiz52x+1, sintheta = 2raizx^2+x-12x+1
Logo
tantfractheta2 = sintheta1+costheta = 2raizx^2+x-12x+1+raiz5
Substituindo em 2arctanl(tfracraiz5+12tantfractheta2r) obtemos a resposta em função de x.

Resposta

integral dxxraizx^2+x-1 = 2,arctanl((raiz5+1),raizx^2+x-12x+1+raiz5r)+C

Exercícios relacionados