Calcule as primitivas abaixo:
22a
integral 5-xx^2-x-2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função racional 5 - xx^2 - x - 2. Vamos usar o conteúdo de frações parciais, que permite decompor uma função racional em somas de termos mais simples cuja antiderivada é conhecida.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Passo 3

Em seguida escrevemos a decomposição em frações parciais:
5 - x(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x + 1), obtemos:
5 - x = A(x + 1) + B(x - 2) = (A + B)x + (A - 2B)

Passo 5

Igualando coeficientes de x e termos constantes, montamos o sistema:
A + B = -1, A - 2B = 5

Passo 6

Da primeira equação A = -1 - B. Substituindo na segunda:
(-1 - B) - 2B = 5 implies -1 -3B = 5 implies B = -2,

Passo 7

logo A = -1 - (-2) = 1. Agora reescrevemos a integral como soma de integrais simples:
integral 5 - xx^2 - x - 2,dx = integral l(1x - 2 - 2x + 1r)dx

Passo 8

Integramos termo a termo usando integral duu = ln|u| + C:
integral 1x - 2dx = ln|x - 2|, integral 2x + 1dx = 2ln|x + 1|

Resposta

ln|x - 2| - 2ln|x + 1| + C

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