Achar o limite de cada ítem abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}.
O conteúdo aqui é limites do tipo “ 1+\text{algo}” elevado a “ 1/x”, e vamos usar a transformação pelo logaritmo natural para simplificar.

Passo 2

Defina
y = (1+\sin x)^{\frac1x}.
Aplicando o logaritmo em ambos os lados, fica
\ln y = \frac1x \,\ln\bigl(1+\sin x\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o limite de \ln y:
\lim_{x\to0}\ln y = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}\;\cdot\;\frac{\sin x}{x}.
Sabemos que
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1
e
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Logo
\lim_{x\to0}\ln y = 1\cdot 1 = 1.

Passo 4

Como \lim_{x\to0}\ln y = 1, temos
\lim_{x\to0}y = \lim_{x\to0} e^{\ln y} = e^1 = e.

Resposta

\displaystyle e

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