Achar o limite de cada ítem abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 0}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}(1+x^{2})^{\frac{1}{x}}
Isso é um limite envolvendo uma indeterminação do tipo 1^{\infty}. Para resolver, vamos usar a reescrita em termos de exponencial e logaritmo, além de um desenvolvimento em série (ou regra de L’Hôpital).

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada. Quando x\to0, temos
1+x^{2}\to1 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\to\pm\infty,
logo a expressão assume a forma 1^{\infty}, que é indeterminada.

Passo 3

Para tratar o caso, definimos
L=\lim_{x\to0}(1+x^{2})^{\frac{1}{x}}
e tomamos o logaritmo:
\ln L =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^{2})}{x}.

Passo 4

Vamos avaliar
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^{2})}{x}.
Para x pequeno, usamos a equivalência \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Aqui u=x^{2}, então
\ln(1+x^{2})\sim x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\ln(1+x^{2})}{x}\sim\frac{x^{2}}{x}=x.
Como x\to0, esse quociente vai a 0. Alternativamente, poderíamos aplicar L’Hôpital diretamente.

Passo 5

Concluímos que
\ln L = 0 \quad\Longrightarrow\quad L = e^{0} = 1.

Resposta

1

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