Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\displaystyle \lim_{x \to 0}\Bigl(\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
O conteúdo é cálculo de limite com forma indeterminada \infty - \infty, e vamos usar manipulação algébrica e expansão de Taylor de \sin x para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a diferença num único quociente para eliminar a indeterminação:
\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{2}\,\sin^{2}x}.

Passo 3

Vamos aproximar \sin x por sua série de Taylor em torno de 0 até a ordem x^{3}:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).
Elevando ao quadrado,
\sin^{2}x = \Bigl(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\Bigr)^{2} = x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}).

Passo 4

Substituímos essas expansões na fração de

Passo 5

x^{2}-\sin^{2}x = x^{2} - \Bigl(x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6})\Bigr) = \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}).
Para o denominador:
x^{2}\,\sin^{2}x = x^{2}\Bigl(x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6})\Bigr) = x^{4} + O(x^{6}).
Logo
\frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{2}\,\sin^{2}x} = \frac{\frac{x^{4}}{3} + O(x^{6})}{x^{4} + O(x^{6})} \;\longrightarrow\;\frac{1}{3} \quad\text{quando }x\to0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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