Achar o limite seguinte:
Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado. O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O ponto para o qual
se aproxima é . - A expressão é uma razão entre dois polinômios em
e . - A primeira ação natural é verificar o valor do numerador e do denominador em
para detectar se temos uma forma indeterminada.
Passo 2
Avaliar numerador e denominador em
.
Calcular o numerador em
:
Fazendo as contas:
Calcular o denominador em
:
Portanto a expressão assume a forma
em
, ou seja, uma indeterminação. Isso indica que devemos tentar simplificar (fatorar/cancelar) para encontrar o limite.
Passo 3
Fatorar o denominador. Começamos com
Agrupando termos que têm o fator
:
Colocando
em evidência:
E fatorando
de
:
Logo
Passo 4
Fatorar o numerador. Escrevemos o numerador como
Agrupando os termos em função de
e do restante:
Agora fatoramos as expressões quadráticas em
. Observe que
e também
Substituindo de volta:
Fatorando
em
:
Passo 5
Substituir as fatorações na fração original e simplificar. Temos
Para pontos
próximos de
com
(ou seja, onde não dividimos por zero), podemos cancelar o fator comum
e também o fator
, além de cancelar um fator
, obtendo
Logo a função dada coincide com a função
em todo ponto suficientemente próximo de
exceto no próprio ponto.
Passo 6
Calcular o limite final usando a simplificação. Como para
próximos de
a expressão vale
, o limite quando
é o mesmo que o limite de
quando
. Portanto
Como o limite de
depende apenas de
, ao fazer
obtemos