Achar o limite seguinte:
Calcule: \lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \frac{6 x^{2} y-18 x^{2}-24 x y+72 x+24 y-72}{6 x y-18 x+36-12 y}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado. O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{6x^{2}y-18x^{2}-24xy+72x+24y-72}{6xy-18x+36-12y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto para o qual (x,y) se aproxima é \,(2,3).
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios em x e y.
  • A primeira ação natural é verificar o valor do numerador e do denominador em (x,y)=(2,3) para detectar se temos uma forma indeterminada.

Passo 2

Avaliar numerador e denominador em (x,y)=(2,3).
Calcular o numerador em (2,3):
6\cdot 2^{2}\cdot 3-18\cdot 2^{2}-24\cdot 2\cdot 3+72\cdot 2+24\cdot 3-72.
Fazendo as contas:
6\cdot 4\cdot 3 -18\cdot 4 -24\cdot 6 +144 +72 -72 =72 -72 -144 +144 +72 -72 =0.
Calcular o denominador em (2,3):
6\cdot 2\cdot 3 -18\cdot 2 +36 -12\cdot 3 =36 -36 +36 -36 =0.
Portanto a expressão assume a forma \frac{0}{0} em (2,3), ou seja, uma indeterminação. Isso indica que devemos tentar simplificar (fatorar/cancelar) para encontrar o limite.

Passo 3

Fatorar o denominador. Começamos com
6xy-18x+36-12y.
Agrupando termos que têm o fator (y-3):
6xy-18x+36-12y = 6x(y-3)-12(y-3).
Colocando (y-3) em evidência:
6x(y-3)-12(y-3)=(y-3)(6x-12).
E fatorando 6 de 6x-12:
(y-3)(6x-12)=6(x-2)(y-3).
Logo
6xy-18x+36-12y = 6(x-2)(y-3).

Passo 4

Fatorar o numerador. Escrevemos o numerador como
6x^{2}y-18x^{2}-24xy+72x+24y-72.
Agrupando os termos em função de y e do restante:
= y(6x^{2}-24x+24) + \bigl(-18x^{2}+72x-72\bigr).
Agora fatoramos as expressões quadráticas em x. Observe que
6x^{2}-24x+24 = 6\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)=6(x-2)^{2},
e também
-18x^{2}+72x-72 = -18\bigl(x^{2}-4x+4\bigr) = -18(x-2)^{2}.
Substituindo de volta:
\text{numerador} = y\cdot 6(x-2)^{2} - 18(x-2)^{2} = (x-2)^{2}\bigl(6y-18\bigr).
Fatorando 6 em 6y-18:
(x-2)^{2}\bigl(6y-18\bigr)=6(x-2)^{2}(y-3).

Passo 5

Substituir as fatorações na fração original e simplificar. Temos
\frac{6(x-2)^{2}(y-3)}{6(x-2)(y-3)}.
Para pontos (x,y) próximos de (2,3) com (x,y)\neq(2,3) (ou seja, onde não dividimos por zero), podemos cancelar o fator comum 6 e também o fator (y-3), além de cancelar um fator (x-2), obtendo
\frac{6(x-2)^{2}(y-3)}{6(x-2)(y-3)} = x-2.
Logo a função dada coincide com a função x-2 em todo ponto suficientemente próximo de (2,3) exceto no próprio ponto.

Passo 6

Calcular o limite final usando a simplificação. Como para (x,y) próximos de (2,3) a expressão vale x-2, o limite quando (x,y)\to(2,3) é o mesmo que o limite de x-2 quando (x,y)\to(2,3). Portanto
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{6x^{2}y-18x^{2}-24xy+72x+24y-72}{6xy-18x+36-12y} = \lim_{(x,y)\to(2,3)} (x-2).
Como o limite de x-2 depende apenas de x, ao fazer x\to 2 obtemos
\lim_{(x,y)\to(2,3)} (x-2) = 2-2 = 0.

Resposta

\,0

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