Teste a natureza da série
, em caso afirmativo encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
O que é pedido:
- Testar a natureza da série (ou seja, decidir se ela converge ou diverge).
- Se convergir, encontrar a soma da série.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A soma é sobre
de até . - O termo geral é
.
Passo 2
Simplificar o termo geral para reconhecer sua forma. Tomando o termo geral e separando a soma no numerador:
Agora simplifica cada fração:
Portanto o termo geral é
Passo 3
Interpretar a série como soma de duas séries. Substituindo a expressão do passo anterior:
Então a série original é a soma de duas séries separadas:
e
.
Passo 4
Lembrar a definição e o critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica na forma
converge se, e somente se,
. Nesse caso a soma é
Vou aplicar isso às duas séries encontradas: para
temos
e para
temos
. Ambos satisfazem
, logo as duas séries geométricas convergem.
Passo 5
Calcular cada soma usando a fórmula da geométrica. Primeiro, para
:
Explicação rápida do porquê da fórmula: a soma parcial
. Se
, então
quando
, levando à soma infinita
.
Agora para
:
Passo 6
Somar as duas contribuições para obter a soma total da série original:
Colocando em uma única fração:
Em forma decimal (usando vírgula como separador) isso é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.