Teste a natureza da série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n} \cdot 5^{n}}\right), em caso afirmativo encontre a sua soma. (1,5 \mathrm{~V})

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}\right).
O que é pedido:
  • Testar a natureza da série (ou seja, decidir se ela converge ou diverge).
  • Se convergir, encontrar a soma da série.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A soma é sobre n de 0 até \infty.
  • O termo geral é \dfrac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}.

Passo 2

Simplificar o termo geral para reconhecer sua forma. Tomando o termo geral e separando a soma no numerador:
\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}=\frac{2^{n}}{2^{n}5^{n}}+\frac{5^{n}}{2^{n}5^{n}}.
Agora simplifica cada fração:
\frac{2^{n}}{2^{n}5^{n}}=\frac{1}{5^{n}},\qquad \frac{5^{n}}{2^{n}5^{n}}=\frac{1}{2^{n}}.
Portanto o termo geral é
\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}=\frac{1}{5^{n}}+\frac{1}{2^{n}}.

Passo 3

Interpretar a série como soma de duas séries. Substituindo a expressão do passo anterior:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Então a série original é a soma de duas séries separadas: \sum_{n=0}^{\infty}5^{-n} e \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}.

Passo 4

Lembrar a definição e o critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica na forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Vou aplicar isso às duas séries encontradas: para \sum 5^{-n} temos r=\dfrac{1}{5} e para \sum 2^{-n} temos r=\dfrac{1}{2}. Ambos satisfazem |r|<1, logo as duas séries geométricas convergem.

Passo 5

Calcular cada soma usando a fórmula da geométrica. Primeiro, para r=\dfrac{1}{5}:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{1}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}.
Explicação rápida do porquê da fórmula: a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, levando à soma infinita \dfrac{1}{1-r}.
Agora para r=\dfrac{1}{2}:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Passo 6

Somar as duas contribuições para obter a soma total da série original:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2^{n}+5^{n}}{2^{n}\cdot5^{n}}\right) =\frac{5}{4}+2.
Colocando em uma única fração:
2=\frac{8}{4}\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}+\frac{8}{4}=\frac{13}{4}.
Em forma decimal (usando vírgula como separador) isso é \,3,25.

Resposta

A série converge e sua soma é \dfrac{13}{4}=3,25.

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