4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule o valor numérico da integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{3}\right) d x d y
onde R é a região delimitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}, no intervalo 0 \leq x \leq 1. Recomenda-se construir um esboço da região para melhor visualização do domínio de integração.
Saiba que: o valor obtido representa o volume do sólido limitado:
  • inferiormente, pelo plano z=0 (plano x O y ),
  • superiormente, pela função f(x, y)=x^{2}+y^{3},
  • lateralmente, pelas curvas mencionadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico da integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dx\,dy
onde R é a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2} no intervalo 0\le x\le1.
Informações dadas e o que pedirão:
  • As curvas que limitam a região são y=\sqrt{x} e y=x^{2}.
  • O intervalo em x é 0\le x\le1.
  • A integral dupla sobre R de x^{2}+y^{3} representa o volume entre z=0 e z=x^{2}+y^{3} sobre a base R.
  • Objetivo: calcular numericamente esse valor (o volume).

Passo 2

Visualização e determinação dos limites de integração:
Primeiro entenda o comportamento das curvas no intervalo dado:
  • Para 0\le x\le1, y=\sqrt{x}=x^{1/2} é uma curva crescente que começa em (0,0) e em x=1 tem y=1.
  • Para 0\le x\le1, y=x^{2} também é crescente, começa em (0,0) e em x=1 tem y=1.
Precisamos saber qual curva é superior (maior y) para cada x entre 0 e 1. Compare x^{1/2} e x^{2} em [0,1]. Para 0<x<1 tem x^{1/2}>x^{2} porque a raiz quadrada decresce menos que a potência 2. Em x=0 e x=1 ambas coincidem em y=0 e y=1.
Conclusão: para cada x\in[0,1] a variável y varia de y=x^{2} (curva inferior) até y=\sqrt{x} (curva superior). Assim é natural escrever a integral como iterada integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Montagem da integral com os limites corretos:
Como vimos, para 0\le x\le1 temos x^{2}\le y\le \sqrt{x}. Então a integral dupla fica
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dy\right)\,dx.
Explico por quê: fixando um x entre 0 e 1, percorremos verticalmente y desde a curva de baixo y=x^{2} até a curva de cima y=\sqrt{x}, somando (integrando) a função x^{2}+y^{3}. Depois somamos isso para todos os x de 0 a 1.

Passo 4

Integração interna em y (regra de primitivação):
Vamos integrar \int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dy. Trate x como constante nesta integração porque a integração é em relação a y.
Regras usadas:
  • A antiderivada de uma constante x^{2} (em relação a y) é x^{2}y.
  • A antiderivada de y^{3} é \tfrac{1}{4}y^{4} porque a regra geral é \int y^{n}\,dy=\tfrac{1}{n+1}y^{n+1} para n\neq-1.
Portanto a primitiva é
x^{2}y+\frac{1}{4}y^{4}.
Agora avaliamos entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}=x^{1/2}:
\begin{aligned} \int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dy &= \left[x^{2}y+\frac{1}{4}y^{4}\right]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\\[4pt] &= \Big(x^{2}\cdot x^{1/2}+\frac{1}{4}(x^{1/2})^{4}\Big) - \Big(x^{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{4}(x^{2})^{4}\Big). \end{aligned}
Agora simplificamos potências:
  • x^{2}\cdot x^{1/2}=x^{2+1/2}=x^{5/2}.
  • (x^{1/2})^{4}=x^{4\cdot(1/2)}=x^{2}.
  • x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}.
  • (x^{2})^{4}=x^{8}.
Logo o resultado da integração interna é
x^{5/2}-x^{4}+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x^{8}.]

Passo 5

Integração externa em x:
Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(x^{5/2}-x^{4}+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x^{8}\right)\,dx.
Integramos termo a termo usando a regra \int x^{n}\,dx=\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}.
Calcule cada primitiva:
  • \int x^{5/2}\,dx = \dfrac{1}{5/2+1}x^{5/2+1}=\dfrac{1}{7/2}x^{7/2}=\dfrac{2}{7}x^{7/2}.
  • \int -x^{4}\,dx = -\dfrac{1}{5}x^{5}.
  • \int \frac{1}{4}x^{2}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}x^{3}=\dfrac{1}{12}x^{3}.
  • \int -\frac{1}{4}x^{8}\,dx = -\frac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{9}x^{9}=-\dfrac{1}{36}x^{9}.
Somando as primitivas:
\left(\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{1}{12}x^{3}-\frac{1}{36}x^{9}\right)\Bigg|_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliação nos limites 0 e 1 e simplificação:
Avalie em x=1:
\frac{2}{7}\cdot1-\frac{1}{5}\cdot1+\frac{1}{12}\cdot1-\frac{1}{36}\cdot1 = \frac{2}{7}-\frac{1}{5}+\frac{1}{12}-\frac{1}{36}.
Em x=0 todos os termos valem zero, portanto o valor da integral é exatamente a soma acima.
Vamos somar as frações com cuidado (sem calculadora). Um múltiplo comum conveniente é 1260 7\cdot5\cdot36). Convertemos cada fração para denominador 1260:
\frac{2}{7}=\frac{360}{1260},\qquad -\frac{1}{5}=-\frac{252}{1260},\qquad \frac{1}{12}=\frac{105}{1260},\qquad -\frac{1}{36}=-\frac{35}{1260}.
Somando numeradores:
360-252+105-35=178.
Portanto o total é \dfrac{178}{1260}. Simplificando por 2 obtemos
\frac{178}{1260}=\frac{89}{630}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
O valor \dfrac{89}{630} é positivo e relativamente pequeno, coerente com a função x^{2}+y^{3} sobre uma região de área menor que 1. A conta das potências e dos coeficientes foi feita termo a termo; a simplificação final deu a fração irredutível \dfrac{89}{630}.

Resposta

\dfrac{89}{630}

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