4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule o valor numérico da integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{3}\right) d x d y
onde R é a região delimitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}, no intervalo 0 \leq x \leq 1. Recomenda-se construir um esboço da região para melhor visualização do domínio de integração.
Saiba que: o valor obtido representa o volume do sólido limitado:
inferiormente, pelo plano z=0 (plano x O y ),
superiormente, pela função f(x, y)=x^{2}+y^{3},
lateralmente, pelas curvas mencionadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor numérico da integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dx\,dy
onde R é a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2} no intervalo 0\le x\le1.
Informações dadas e o que pedirão:
As curvas que limitam a região são y=\sqrt{x} e y=x^{2}.
O intervalo em x é 0\le x\le1.
A integral dupla sobre R de x^{2}+y^{3} representa o volume entre z=0 e z=x^{2}+y^{3} sobre a base R.
Objetivo: calcular numericamente esse valor (o volume).
Passo 2
Visualização e determinação dos limites de integração:
Primeiro entenda o comportamento das curvas no intervalo dado:
Para 0\le x\le1, y=\sqrt{x}=x^{1/2} é uma curva crescente que começa em (0,0) e em x=1 tem y=1.
Para 0\le x\le1, y=x^{2} também é crescente, começa em (0,0) e em x=1 tem y=1.
Precisamos saber qual curva é superior (maior y) para cada x entre 0 e 1. Compare x^{1/2} e x^{2} em [0,1]. Para 0<x<1 tem x^{1/2}>x^{2} porque a raiz quadrada decresce menos que a potência 2. Em x=0 e x=1 ambas coincidem em y=0 e y=1.
Conclusão: para cada x\in[0,1] a variável y varia de y=x^{2} (curva inferior) até y=\sqrt{x} (curva superior). Assim é natural escrever a integral como iterada integrando primeiro em y e depois em x.
Passo 3
Montagem da integral com os limites corretos:
Como vimos, para 0\le x\le1 temos x^{2}\le y\le \sqrt{x}. Então a integral dupla fica
Explico por quê: fixando um x entre 0 e 1, percorremos verticalmente y desde a curva de baixo y=x^{2} até a curva de cima y=\sqrt{x}, somando (integrando) a função x^{2}+y^{3}. Depois somamos isso para todos os x de 0 a 1.
Passo 4
Integração interna em y (regra de primitivação):
Vamos integrar \int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\left(x^{2}+y^{3}\right)\,dy. Trate x como constante nesta integração porque a integração é em relação a y.
Regras usadas:
A antiderivada de uma constante x^{2} (em relação a y) é x^{2}y.
A antiderivada de y^{3} é \tfrac{1}{4}y^{4} porque a regra geral é \int y^{n}\,dy=\tfrac{1}{n+1}y^{n+1} para n\neq-1.
Portanto a primitiva é
x^{2}y+\frac{1}{4}y^{4}.
Agora avaliamos entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}=x^{1/2}:
Em x=0 todos os termos valem zero, portanto o valor da integral é exatamente a soma acima.
Vamos somar as frações com cuidado (sem calculadora). Um múltiplo comum conveniente é 1260 (é 7\cdot5\cdot36). Convertemos cada fração para denominador 1260:
Portanto o total é \dfrac{178}{1260}. Simplificando por 2 obtemos
\frac{178}{1260}=\frac{89}{630}.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
O valor \dfrac{89}{630} é positivo e relativamente pequeno, coerente com a função x^{2}+y^{3} sobre uma região de área menor que 1. A conta das potências e dos coeficientes foi feita termo a termo; a simplificação final deu a fração irredutível \dfrac{89}{630}.