Determine o domínio de convergência da série: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{3^{n}}.
Informações dadas:
  • A série é
    \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{3^{n}}.
  • A incógnita é x (assumimos x real).
  • O objetivo é encontrar todos os x para os quais a série converge (intervalo ou conjunto de convergência).

Passo 2

Reconhecer o tipo de série e lembrar a condição de convergência de uma série geométrica.
Uma série geométrica comum é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}. Para essa série vale a fórmula das somas parciais:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad(r\neq1).
Se |r|<1, então r^{N}\to0 quando N\to\infty e portanto \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge (para \dfrac{r}{1-r}). Se |r|\ge1, então r^{N} não tende a zero e a série diverge. Assim a condição necessária e suficiente de convergência para uma série geométrica é |r|<1.

Passo 3

Reescrever a série dada como uma série geométrica explícita.
Note que
\frac{(-1)^{n}(x+2)^{n}}{3^{n}}=\left(\frac{-(x+2)}{3}\right)^{n}.
Logo nossa série é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-(x+2)}{3}\right)^{n},
ou seja, uma série geométrica com razão
r=\frac{-(x+2)}{3}.

Passo 4

Aplicar a condição de convergência da série geométrica ao valor de r.
Pela condição |r|<1 temos
\left|\frac{-(x+2)}{3}\right|<1.
Como o sinal menos não altera o valor absoluto, isso é equivalente a
\frac{|x+2|}{3}<1.
Multiplicando por 3:
|x+2|<3.
Resolver essa desigualdade em x:
-3<x+2<3.
Subtraindo 2 de todas as partes:
-5<x<1.
Portanto, para todo x estritamente entre -5 e 1 a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 5

Analisar os extremos do intervalo, pois a condição |x+2|<3 dá apenas o intervalo aberto; é preciso verificar x=-5 e x=1.
  1. x=1: substituir na expressão geral do termo:
\frac{(-1)^{n}(1+2)^{n}}{3^{n}}=\frac{(-1)^{n}3^{n}}{3^{n}}=(-1)^{n}.
Os termos (-1)^{n} não tendem a zero quando n\to\infty; condição necessária para convergência de uma série é que os termos individuais tendam a zero. Logo a série diverge em x=1.
  1. x=-5: substituir
\frac{(-1)^{n}(-5+2)^{n}}{3^{n}}=\frac{(-1)^{n}(-3)^{n}}{3^{n}}.
Como (-3)^{n}=(-1)^{n}3^{n}, isso dá
\frac{(-1)^{n}\cdot(-1)^{n}3^{n}}{3^{n}}=\frac{(-1)^{2n}3^{n}}{3^{n}}=1.
Os termos são constantemente 1, portanto também não tendem a zero e a série diverge em x=-5.

Passo 6

Conclusão: a série converge exatamente quando -5<x<1. Os dois extremos x=-5 e x=1 não pertencem ao conjunto de convergência.

Resposta

(-5,1)

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