Achar o limite das seguintes sequências de eventos:
An=[-1n, n+1n), para todo n;

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o “limite” da sequência de eventos (intervalos)
An=l[-tfrac1n,;tfracn+1nr),, n=1,2,3,dots
Isso cai na matéria de Probabilidade/Teoria de Conjuntos: limite de eventos, que a gente define via os conceitos de lim sup e lim inf. Para resolver, a gente vai precisar:
1) Definir lim sup e lim inf de uma sequência de eventos.
2) Verificar algum padrão (por exemplo, a família é crescente ou decrescente).
3) Calcular a intersecção ou união apropriada para achar lim sup e lim inf.

Passo 2

Antes de sair calculando, bora lembrar as definições básicas:
  • lim sup  An=capn=1^infty;cupk=n^inftyAk é o conjunto dos pontos que aparecem em Ak para infinitos índices k.
  • lim inf  An=cupn=1^infty;capk=n^inftyAk é o conjunto dos pontos que, a partir de algum n, continuam aparecendo em todos os Ak para k>= n.
    Se lim sup e lim inf derem o mesmo conjunto, dizemos que a sequência “converge” e esse é o limite.

Passo 3

Vamos observar a monotonicidade de An. Para isso, compare An e An+1:
An=[-1/n,,(n+1)/n)e An+1=[-1/(n+1),,(n+2)/(n+1)),
Note que
1. -1/(n+1)>-1/n, logo a borda esquerda de An+1 está “mais à direita” que a de An.
2. (n+2)/(n+1)=1+1/(n+1)<1+1/n=(n+1)/n, então a borda direita de An+1 está “mais à esquerda” que a de An.
Portanto An+1subset An e a sequência é decrescente.

Passo 4

Para sequência decrescente ( A1supset A2supsetcdots) vale que:
  • cupk=n^inftyAk=An, pois todo Ak com k>n já está contido em An.
  • capk=n^inftyAk=capk=n^inftyAk é a intersecção de uma família que só “diminui”, e à medida que ntoinfty isso se aproxima do mesmo conjunto limite.
    Assim fica mais fácil:
    lim sup  An=capn=1^inftyAn
    e
    lim inf $A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}{\infty}\bigcap_{k=n}{\infty}A_k,. $
    Mas, como a família é decrescente, cada An=cupn=1^inftycapk=n^inftyAk, já é o mesmo “conjunto final”, então lim inf também cai em capk=n^infty Ak.

Passo 5

Basta achar
$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n
=\bigl{,x:\forall n,;-1/n\le x<1+1/n\bigr},. capn=1^infty An =l,x:forall n,;-1/n<= x<1+1/nr, çãé\bigcap_{n=1}^\infty A_n=[,0,1,],. $$

Resposta

lim sup  An= lim inf  An=[0,1], ou seja, a sequência An converge ao conjunto [0,1],.

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