Achar o limite das seguintes sequências de eventos:
, para todo
;
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar o “limite” da sequência de eventos (intervalos)
Isso cai na matéria de Probabilidade/Teoria de Conjuntos: limite de eventos, que a gente define via os conceitos de lim sup e lim inf. Para resolver, a gente vai precisar:
1) Definir lim sup e lim inf de uma sequência de eventos.
2) Verificar algum padrão (por exemplo, a família é crescente ou decrescente).
3) Calcular a intersecção ou união apropriada para achar lim sup e lim inf.
Passo 2
Antes de sair calculando, bora lembrar as definições básicas:
- lim sup
é o conjunto dos pontos que aparecem em para infinitos índices . - lim inf
é o conjunto dos pontos que, a partir de algum , continuam aparecendo em todos os para .
Se lim sup e lim inf derem o mesmo conjunto, dizemos que a sequência “converge” e esse é o limite.
Passo 3
Vamos observar a monotonicidade de
. Para isso, compare
e
:
Note que
1.
2.
Portanto
Passo 4
Para sequência decrescente (
) vale que:
-
, pois todo com já está contido em . -
é a intersecção de uma família que só “diminui”, e à medida que isso se aproxima do mesmo conjunto limite.
Assim fica mais fácil:
lim sup
e
lim inf $A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}{\infty}\bigcap_{k=n}{\infty}A_k,. $
Mas, como a família é decrescente, cadajá é o mesmo “conjunto final”, então lim inf também cai em .
Passo 5
Basta achar
$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n
=\bigl{,x:\forall n,;-1/n\le x<1+1/n\bigr},.
\bigcap_{n=1}^\infty A_n=[,0,1,],. $$
Resposta
lim sup
lim inf
, ou seja, a sequência
converge ao conjunto
.