Achar o limite das seguintes sequências de eventos:
An=(-n2, n^2n+1), para todo n.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar o “limite” da sequência de eventos (conjuntos)
An=l(-tfracn2,,tfracn^2n+1r),, n=1,2,3,dots
Conteúdo: limite de sequência de conjuntos (eventos), ou seja, entender liminf An e limsup An e ver se coincide. Vamos precisar das definições de liminf e limsup, e estudar o comportamento dos extremos dos intervalos à medida que ntoinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os extremos de cada intervalo:
an = -n2, bn = n^2n+1,
A ideia é ver para cada ponto xinR se ele pertence aos An a partir de qual n e para sempre, ou se só “aparece” em alguns. Pra isso precisamos saber se anto -infty e bnto +infty.

Passo 3

Estudo dos limites dos extremos:
  1. an = -n2, claramente tende a -infty quando ntoinfty.
  2. bn = n^2n+1 = n - 1 + 1n+1, e aí bn to +infty também.
    Então cada intervalo An fica mais “longo” em ambas as direções à medida que n cresce.

Passo 4

Monotonicidade:
  • an+1 = -n+12< -n2=an, ou seja, o limite inferior cai.
  • bn+1>!bn, ou seja, o limite superior sobe.
    Isso mostra que Ansubseteq An+1 para todo n. Então a sequência é crescente.
Para sequências crescentes de conjuntos vale:
liminfntoinftyAn=limsupntoinftyAn=cupn=1^infty An

Passo 5

Como os intervalos vão se expandindo até englobar qualquer número real, a união de todos eles é
cupn=1^infty l(-tfracn2,,tfracn^2n+1r)=(-infty,infty)
Logo tanto o liminf quanto o limsup são todo o R, e portanto o “limite” existe e é R.

Resposta

limntoinftyAn = (-infty,infty),

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