Sejam
e
sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade, tais que
e
. Mostre que:
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos duas “seqüências de eventos”
e
num mesmo espaço de probabilidade, e que
A tarefa é provar que
A matéria aqui é Teoria de Probabilidade (mais precisamente convergência de eventos), e o que vamos precisar é:
- Definição de
e de uma sequência de eventos. - Propriedades básicas de união e interseção (distributividade).
- O fato de que, se
, dizemos que .
Passo 2
Primeiro, bora relembrar as definições:
- .
Isso é o evento “que ocorre infinitas vezes”.
- .
Esse é o evento “que ocorre a partir de algum índice em diante sempre”.
E a convergência significa justamente que
-
Isso é o evento “que ocorre infinitas vezes”.
-
Esse é o evento “que ocorre a partir de algum índice em diante sempre”.
E a convergência
Mesma coisa para
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
[
\limsup_{n\to\infty}(A_n\cap B_n)
\limsup_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\limsup_{n\to\infty}B_n.
]
Pela definição,
Mas a propriedade de distribuição de união sobre interseção diz que, para cada
,
[
\bigcup_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)
\Bigl(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\Bigr)
;\cap;
\Bigl(\bigcup_{k=n}^\infty B_k\Bigr).
]
Logo
[
\bigcap_{n=1}^\infty
\bigcup_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)
\bigl(\bigcap_{n=1}\infty\bigcup_{k=n}\infty A_k\bigr)
;\cap;
\bigl(\bigcap_{n=1}\infty\bigcup_{k=n}\infty B_k\bigr)
\limsup_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\limsup_{n\to\infty}B_n.
]
;\cap;
\limsup_{n\to\infty}B_n.
]
Passo 4
Do mesmo jeitinho, para o
:
e usando
[
\bigcap_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)
\Bigl(\bigcap_{k=n}^\infty A_k\Bigr)
;\cap;
\Bigl(\bigcap_{k=n}^\infty B_k\Bigr),
]
chegamos a
[
\liminf_{n\to\infty}(A_n\cap B_n)
\liminf_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\liminf_{n\to\infty}B_n.
]
;\cap;
\liminf_{n\to\infty}B_n.
]
Resposta
Como
e
, segue que
Ou seja,