Sejam (An) e (Bn) sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade, tais que lim n infty An=A e lim n infty Bn=B. Mostre que:
lim n infty(An cap Bn)=A cap B.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos duas “seqüências de eventos” limntoinftyAn = A e limntoinftyBn = B e limntoinfty(Ancap Bn) = Acap B num mesmo espaço de probabilidade, e que
A tarefa é provar que
A matéria aqui é Teoria de Probabilidade (mais precisamente convergência de eventos), e o que vamos precisar é:
  1. Definição de e de uma sequência de eventos.
  2. Propriedades básicas de união e interseção (distributividade).
  3. O fato de que, se , dizemos que .

Passo 2

Primeiro, bora relembrar as definições:
- limsupntoinftyAn =liminfntoinftyAn = A .
Isso é o evento “que ocorre infinitas vezes”.
- .
Esse é o evento “que ocorre a partir de algum índice em diante sempre”.
E a convergência significa justamente que
Mesma coisa para .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que
[
\limsup_{n\to\infty}(A_n\cap B_n)

\limsup_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\limsup_{n\to\infty}B_n.
]
Pela definição,
limsupntoinfty(Ancap Bn) = limsupntoinftyAn ;cap; limsupntoinftyBn
Mas a propriedade de distribuição de união sobre interseção diz que, para cada limsupntoinfty(Ancap Bn) =capn=1^infty ;cupk=n^inftyl(Akcap Bkr) ,
[
\bigcup_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)

\Bigl(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\Bigr)
;\cap;
\Bigl(\bigcup_{k=n}^\infty B_k\Bigr).
]
Logo
[
\bigcap_{n=1}^\infty
\bigcup_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)

\bigl(\bigcap_{n=1}\infty\bigcup_{k=n}\infty A_k\bigr)
;\cap;
\bigl(\bigcap_{n=1}\infty\bigcup_{k=n}\infty B_k\bigr)

\limsup_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\limsup_{n\to\infty}B_n.
]

Passo 4

Do mesmo jeitinho, para o liminfntoinfty(Ancap Bn) =cupn=1^infty ;capk=n^infty(Akcap Bk) :
capk=n^infty(Akcap Bk) = l(capk=n^infty Akr) ;cap; l(capk=n^infty Bkr),
e usando
[
\bigcap_{k=n}^\infty(A_k\cap B_k)

\Bigl(\bigcap_{k=n}^\infty A_k\Bigr)
;\cap;
\Bigl(\bigcap_{k=n}^\infty B_k\Bigr),
]
chegamos a
[
\liminf_{n\to\infty}(A_n\cap B_n)

\liminf_{n\to\infty}A_n
;\cap;
\liminf_{n\to\infty}B_n.
]

Resposta

Como limsup(Ancap Bn) =liminf(Ancap Bn) = Acap B e boxedlimntoinfty(Ancap Bn)=Acap B , segue que
Ou seja,

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