Seja (An) sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade tal que P(An) >= c>0, para todo n. Mostre que P(lim sup An) >= c.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: temos uma sequência de eventos P(An)>= c>0 num mesmo espaço de probabilidade, e para todo Pl(limsupntoinftyAnr);>=;c vale
Queremos mostrar que
O conteúdo aqui envolve entender o que é de eventos e usar um resultado de teoria de medida (o Lema de Fatou) aplicado às funções indicadoras.

Passo 2

Antes de mais nada, lembramos a definição de
limsupntoinftyAn =capN=1^infty;cupn=N^infty An,
que é o evento “ 1An(omega) = 1,&omegain An, 0,&omeganotin An ocorre infinitas vezes”.
Agora associamos a cada evento 1limsup An(omega) =limsupntoinfty1An(omega) sua função indicadora
Note que

Passo 3

Aplicamos agora o Lema de Fatou (que diz, para funções não negativas,
El[1limsup Anr] ;=; El[limsupntoinfty1Anr] ;>=; limsupntoinftyEl[1Anr] ).
Aqui , então

Passo 4

Mas Pl(limsup Anr) ;>=; limsupntoinftyP(An) ;>=; c, . Logo
pois cada .

Resposta

boxedPl(limsupntoinftyAnr)>= c

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