Seja
sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade tal que
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: temos uma sequência de eventos
num mesmo espaço de probabilidade, e para todo
vale
Queremos mostrar que
O conteúdo aqui envolve entender o que é
de eventos e usar um resultado de teoria de medida (o Lema de Fatou) aplicado às funções indicadoras.
Passo 2
Antes de mais nada, lembramos a definição de
que é o evento “
ocorre infinitas vezes”.
Agora associamos a cada evento sua função indicadora
Agora associamos a cada evento
Note que
Passo 3
Aplicamos agora o Lema de Fatou (que diz, para funções não negativas,
).
Aqui , então
Aqui
Passo 4
Mas
. Logo
pois cada
.