Seja
sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade. Calcule
nos seguintes casos:
, para todo
;
Passo 1
Beleza, olha só o enunciado: temos uma sequência de eventos
num espaço de probabilidade, com
A pergunta é: qual é
?
Conteúdo: probabilidade e o Lema de Borel–Cantelli. Precisamos entender o que é , ver se a série
converge e aplicar o Lema de Borel–Cantelli.
Conteúdo: probabilidade e o Lema de Borel–Cantelli. Precisamos entender o que é
Passo 2
Primeiro, o que significa
?
é o evento “
acontece infinitas vezes”. Em fórmula:
Isso quer dizer: para qualquer estágio
, existe algum
em que
ocorre.
Passo 3
Agora, vamos olhar a soma das probabilidades:
Essa é a famosa série p–série com
. A gente sabe por teoria de séries que, se
,
converge. No caso
, dá um valor finito (na verdade
), mas o importante é que é finita:
Passo 4
Enunciando o Lema de Borel–Cantelli (primeira parte):
Se , então
Se
Ou seja, quando as probabilidades somadas dão um valor finito, a chance de ocorrerem infinitely many
é zero.
Resposta
Portanto, para
, vale