Seja (An) sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade. Calcule P(lim sup An) nos seguintes casos:
P(An)=1n^2, para todo n;

Passo 1

Beleza, olha só o enunciado: temos uma sequência de eventos P(An)=1n^2para todo n num espaço de probabilidade, com
A pergunta é: qual é ?
Conteúdo: probabilidade e o Lema de Borel–Cantelli. Precisamos entender o que é , ver se a série converge e aplicar o Lema de Borel–Cantelli.

Passo 2

Primeiro, o que significa limsupntoinftyAn =capm=1^inftycupn=m^inftyAn ?
é o evento “ acontece infinitas vezes”. Em fórmula:
Isso quer dizer: para qualquer estágio , existe algum em que ocorre.

Passo 3

Agora, vamos olhar a soma das probabilidades:
sumn=1^inftyP(An) =sumn=1^infty1n^2
Essa é a famosa série p–série com sumn=1^infty1n^2. A gente sabe por teoria de séries que, se ,
converge. No caso , dá um valor finito (na verdade ), mas o importante é que é finita:

Passo 4

Enunciando o Lema de Borel–Cantelli (primeira parte):
Se Pl(limsupntoinftyAnr)=0 , então
Ou seja, quando as probabilidades somadas dão um valor finito, a chance de ocorrerem infinitely many é zero.

Resposta

Portanto, para Pl(limsup Anr)=0 , vale

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