Achar o limite das seguintes sequências de eventos:
An=(0, 1n), para todo n;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “achar o limite” da sequência de eventos
An = l(0,tfrac1nr), n=1,2,3,dots
Isso faz parte do conteúdo de Teoria da Probabilidade onde a gente aprende o que é limite de sequência de eventos – mais precisamente usamos as noções de
  • (limite superior)
  • (limite inferior)
    e, se eles coincidirem, dizemos que a sequência “converge” a esse conjunto. Para resolver, vamos precisar:
  1. Definição de e .
  2. Observar como funciona a sequência (ela é decrescente).
  3. Calcular as interseções e uniões envolvidas.

Passo 2

Primeiro, a definição formal:
limsupntoinfty An = capN=1^infty ;cupn>= N An, liminfntoinfty An = cupN=1^infty ;capn>= N An
  • é o conjunto de pontos que aparecem em infinitas vezes.
  • é o conjunto de pontos que aparecem em a partir de algum contínuo (ou seja, em todos os para suficientemente grande).
Se der , a gente chama isso de .

Passo 3

Agora veja:
cupn>= N An = AN e capn>= N An = limntoinfty An = capn=1^infty An ,
limsupntoinfty An = capN=1^infty cupn>= N An = capN=1^infty AN ,
liminfntoinfty An = cupN=1^infty capn>= N An = cupN=1^infty l(capn=1^infty Anr) = capn=1^infty An , …
Cada está contido em . Isso é uma sequência decrescente de conjuntos.
Para sequência decrescente vale sempre
Então
e
Ou seja, tanto o lim sup quanto o lim inf se reduzem à interseção
.

Passo 4

Falta ver que essa interseção é o conjunto vazio.
  • Se capn=1^infty l(0,tfrac1nr) = varnothing , escolha tal que . Então , logo não está na interseção.
  • Se , também não entra, porque o intervalo é aberto em 0.
Então nenhum ponto fica em todas as fatias, e temos

Resposta

A sequência de eventos limntoinfty An ;=;varnothing converge (isto é, ) e seu limite é o conjunto vazio:

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