Achar o limite das seguintes sequências de eventos:
, para todo
;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “achar o limite” da sequência de eventos
Isso faz parte do conteúdo de Teoria da Probabilidade onde a gente aprende o que é limite de sequência de eventos – mais precisamente usamos as noções de
-
(limite superior) -
(limite inferior)
e, se eles coincidirem, dizemos que a sequência “converge” a esse conjunto. Para resolver, vamos precisar:
- Definição de
e . - Observar como funciona a sequência
(ela é decrescente). - Calcular as interseções e uniões envolvidas.
Passo 2
Primeiro, a definição formal:
-
é o conjunto de pontos que aparecem em infinitas vezes. -
é o conjunto de pontos que aparecem em a partir de algum contínuo (ou seja, em todos os para suficientemente grande).
Se der
, a gente chama isso de
.
Passo 3
Agora veja:
,
,
, …
Cada está contido em
. Isso é uma sequência decrescente de conjuntos.
Cada
Para sequência decrescente vale sempre
Então
e
Ou seja, tanto o lim sup quanto o lim inf se reduzem à interseção
.
Passo 4
Falta ver que essa interseção é o conjunto vazio.
- Se
, escolha tal que . Então , logo não está na interseção. - Se
, também não entra, porque o intervalo é aberto em 0.
Então nenhum ponto fica em todas as fatias, e temos
Resposta
A sequência de eventos
converge (isto é,
) e seu limite é o conjunto vazio: