Achar os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da soma
Informações dadas:
- A sequência de somas é a soma dos termos
para . - Queremos
, onde .
Passo 2
Vamos escrever a soma de forma compacta e identificar o tipo de soma que temos.
Definimos
Definimos
Isto é, cada termo é
com
. Uma soma desse tipo é uma soma geométrica finita, que tem uma fórmula fechada. Antes de usar a fórmula, explico o que são os parâmetros:
- O primeiro termo (quando
) é . - A razão (fator que multiplica cada termo para obter o próximo) é
.
Passo 3
Vou deduzir a fórmula da soma geométrica finita de modo bem direto (essa é uma técnica que cai muito na prova, decora e aplica):
Considere a soma genérica
Considere a soma genérica
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora subtraímos as duas igualdades:
No lado esquerdo fatoramos
. Assim,
Isolando
vem a fórmula padrão para a soma geométrica finita:
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso com
.
Substituindo em
Substituindo em
temos
Calcule o denominador
. Então
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Precisamos avaliar
Observação importante (por que isso vai a zero): para qualquer número real
com
, tem-se
. No nosso caso
satisfaz
, logo
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova: a soma infinita correspondente é a soma geométrica de razão
, e existe (converge) porque a razão tem módulo menor que
. A soma até o infinito pode ser lembrada diretamente como
que aqui dá
. Se ficar nervoso na prova, escreva o passo de multiplicar por
e subtrair como fiz acima — é curto e seguro.