Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando n tende ao infinito da soma
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}.
Informações dadas:
  • A sequência de somas é a soma dos termos \dfrac{1}{2^{k}} para k=1,2,\dots,n.
  • Queremos \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n, onde S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k}}.

Passo 2

Vamos escrever a soma de forma compacta e identificar o tipo de soma que temos.
Definimos
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Isto é, cada termo é r^{k} com r=\dfrac{1}{2}. Uma soma desse tipo é uma soma geométrica finita, que tem uma fórmula fechada. Antes de usar a fórmula, explico o que são os parâmetros:
  • O primeiro termo (quando k=1) é a=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}=\dfrac{1}{2}.
  • A razão (fator que multiplica cada termo para obter o próximo) é r=\dfrac{1}{2}.

Passo 3

Vou deduzir a fórmula da soma geométrica finita de modo bem direto (essa é uma técnica que cai muito na prova, decora e aplica):
Considere a soma genérica
S_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_n = r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n+1}.
Agora subtraímos as duas igualdades:
S_n - rS_n = (r+r^{2}+\cdots+r^{n}) - (r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n+1}) = r - r^{n+1}.
No lado esquerdo fatoramos S_n(1-r). Assim,
S_n(1-r)=r - r^{n+1}.
Isolando S_n vem a fórmula padrão para a soma geométrica finita:
S_n=\frac{r - r^{n+1}}{1-r}=\frac{r(1-r^{n})}{1-r}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso com r=\dfrac{1}{2}.
Substituindo em
S_n=\frac{r(1-r^{n})}{1-r}
temos
S_n=\frac{\dfrac{1}{2}\!\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}.
Calcule o denominador 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. Então
S_n=\frac{\dfrac{1}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{\dfrac{1}{2}} =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Precisamos avaliar
\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right).
Observação importante (por que isso vai a zero): para qualquer número real \,r com |r|<1, tem-se \lim_{n\to\infty} r^{n}=0. No nosso caso r=\dfrac{1}{2} satisfaz |r|=\dfrac{1}{2}<1, logo
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} S_n = 1-0 = 1.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova: a soma infinita correspondente é a soma geométrica de razão \dfrac{1}{2}, e existe (converge) porque a razão tem módulo menor que 1. A soma até o infinito pode ser lembrada diretamente como
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{r}{1-r}\quad\text{quando }\;|r|<1,
que aqui dá \dfrac{1/2}{1-1/2}=1. Se ficar nervoso na prova, escreva o passo de multiplicar por r e subtrair como fiz acima — é curto e seguro.

Resposta

1

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