Achar os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é uma razão entre somas de potências de
e . - O índice
vai para .
Passo 2
Ideia básica (sem resolver ainda): quando
cresce muito, as potências com base maior crescem muito mais rápido. Aqui a base
é maior que
, então os termos com
tendem a dominar. Para manipular isso de forma algébrica e rigorosa, vamos fatorar uma potência de
comum no numerador e no denominador, e então analisar o que sobra.
Passo 3
Fatorando
em numerador e denominador passo a passo:
Simplificando os quocientes dentro dos parênteses:
Assim a razão fica
Passo 4
Agora precisamos analisar o comportamento de
quando
. Relembrando uma propriedade básica de sequências geométricas: se
então
. Aqui
e
, logo
Passo 5
Aplicando esse limite à expressão obtida no Passo 3:
Portanto o limite procurado é
.
Resposta
3