Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando n tende a infinito:
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é uma razão entre somas de potências de 2 e 3.
  • O índice n vai para +\infty.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): quando n cresce muito, as potências com base maior crescem muito mais rápido. Aqui a base 3 é maior que 2, então os termos com 3^n tendem a dominar. Para manipular isso de forma algébrica e rigorosa, vamos fatorar uma potência de 3 comum no numerador e no denominador, e então analisar o que sobra.

Passo 3

Fatorando 3^{n} em numerador e denominador passo a passo:
\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}} = \frac{3^{n}\!\left(\dfrac{2^{n+1}}{3^{n}}+\dfrac{3^{n+1}}{3^{n}}\right)}{3^{n}\!\left(\dfrac{2^{n}}{3^{n}}+1\right)}.
Simplificando os quocientes dentro dos parênteses:
\dfrac{2^{n+1}}{3^{n}} = 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}, \qquad \dfrac{3^{n+1}}{3^{n}} = 3, \qquad \dfrac{2^{n}}{3^{n}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
Assim a razão fica
\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}} = \frac{2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} + 3}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} + 1}.

Passo 4

Agora precisamos analisar o comportamento de \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} quando n\to\infty. Relembrando uma propriedade básica de sequências geométricas: se |r|<1 então \lim_{n\to\infty} r^{n}=0. Aqui r=\dfrac{2}{3} e |r|=\dfrac{2}{3}<1, logo
\lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} = 0.

Passo 5

Aplicando esse limite à expressão obtida no Passo 3:
\lim_{n\to\infty} \frac{2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} + 3}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} + 1} = \frac{2\cdot 0 + 3}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3.
Portanto o limite procurado é 3.

Resposta

3

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