Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{(x ; y) \rightarrow(0 ; 2)} \frac{\text { senxy }}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}
quando (x,y)\to(0,2). O conteúdo é limites em várias variáveis e vamos usar o fato conhecido de que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Para aproveitar esse limite padrão, escrevemos
\frac{\sin(xy)}{x} =\frac{\sin(xy)}{xy}\;\cdot y,
válido sempre que x\neq0. Assim dividimos o problema em dois fatores.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando (x,y)\to(0,2):
\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{xy} =1, \qquad \lim_{(x,y)\to(0,2)}y=2.
Pelo produto de limites, obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{x} =1\cdot 2=2.

Resposta

O limite é 2.

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