Achar as superfícies de nível das funções seguintes:
u(x ; y ; z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as superfícies de nível da função
u(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}.
Em geral, a superfície de nível associada a um valor constante c é dada por
u(x,y,z) = c.
Aqui vamos usar essa definição e reconhecer a forma geométrica resultante.

Passo 2

Aplicando a definição de superfície de nível, impomos
x^{2} + y^{2} + z^{2} = c.
Essa equação em \mathbb{R}^{3} representa uma esfera de centro na origem (0,0,0) e raio \sqrt{c}, sempre que c>0.

Passo 3

É preciso observar o domínio dos valores possíveis de c. Como soma de quadrados é sempre não negativa, temos:
c = x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 0.
  • Para c>0, a superfície de nível é uma esfera de raio \sqrt{c}.
  • Para c=0, reduz-se ao ponto (0,0,0).
  • Para c<0, não há solução (a superfície está vazia).

Resposta

Para cada constante c\ge0, a superfície de nível de \,u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c,
isto é,
– se c>0: esfera de centro (0,0,0) e raio \sqrt{c},
– se c=0: o ponto (0,0,0).
Para c<0 não existe superfície de nível.

Exercícios relacionados