Determine o raio e intervalo de convergência
Passo 1
O enunciado pede o raio
e o intervalo de convergência de
Este é um problema de séries de potências centradas em
. Para resolver, vamos reescrever a série de modo padrão, usar o teste da raiz (ou da razão) para achar
e depois verificar a convergência nos pontos finais
.
Passo 2
Reindexamos para ter potências
com
começando em zero. Faça
, logo
. A série vira
Os coeficientes são
.
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz:
O raio de convergência é
Passo 4
Verificamos os extremos
.
-
Para
temos e a série
cujos termos em valor absoluto são. Como converge , há convergência absoluta em . -
Para
temos e a série
,
que é uma-série com , logo converge também.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.