Determine o raio e intervalo de convergência
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-2}(x+3)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio R e o intervalo de convergência de
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-2}(x+3)^{n-1}.
Este é um problema de séries de potências centradas em x_0=-3. Para resolver, vamos reescrever a série de modo padrão, usar o teste da raiz (ou da razão) para achar R e depois verificar a convergência nos pontos finais x=-3\pm R.

Passo 2

Reindexamos para ter potências (x+3)^m com m começando em zero. Faça m=n-1, logo n=m+1. A série vira
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^{2}}\,(x+3)^{m}.
Os coeficientes são a_{m}=(m+1)^{-2}.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz:
\lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{\lvert a_{m}\rvert} =\lim_{m\to\infty}(m+1)^{-2/m} =1.
O raio de convergência é
R=\frac{1}{\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}}=1.

Passo 4

Verificamos os extremos x=-3\pm1.
  1. Para x=-4 temos \,x+3=-1 e a série
    \sum_{m=0}^{\infty}(m+1)^{-2}(-1)^{m}
    cujos termos em valor absoluto são (m+1)^{-2}. Como \sum(m+1)^{-2} converge p=2>1, há convergência absoluta em x=-4.
  2. Para x=-2 temos \,x+3=1 e a série
    \sum_{m=0}^{\infty}(m+1)^{-2},
    que é uma p-série com p=2>1, logo converge também.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é \bigl[-4,\,-2\bigr].

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