Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{(x ; y) \rightarrow(6 ; 3)} x y \cos (x-2 y)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(6,3)} x\,y\cos\bigl(x-2y\bigr).
O conteúdo usado é que produtos e composições de funções contínuas também são contínuos, então podemos avaliar o limite substituindo diretamente (x,y)=(6,3).

Passo 2

Observamos que a função f(x,y)=x\,y é contínua em \mathbb{R}^2 e que \cos(u) é contínua em \mathbb{R}. Logo, a composição
(x,y)\mapsto x\,y\quad\text{e}\quad u\mapsto \cos(u)
implica que
(x,y)\mapsto x\,y\cos\bigl(x-2y\bigr)
é contínua, e o limite é simplesmente o valor da função no ponto.

Passo 3

Para isso, calculamos primeiro
x\,y\bigl|_{(x,y)=(6,3)} = 6\cdot3 = 18,
e em seguida o argumento do cosseno:
x-2y\bigl|_{(x,y)=(6,3)} = 6 - 2\cdot3 = 0,
portanto
\cos\bigl(x-2y\bigr)\bigl|_{(x,y)=(6,3)} = \cos(0) = 1.

Passo 4

Multiplicando os resultados, obtemos
18 \times 1 = 18.

Resposta

18

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