Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{(x ; y) \rightarrow(0 ; 0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) * \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Para esses casos, usamos coordenadas polares, pois x^{2}+y^{2} depende só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo a função vira
f(r)=r^{2}\,\ln\bigl(r^{2}\bigr).

Passo 3

Simplificando a parte logarítmica,
\ln\bigl(r^{2}\bigr)=2\,\ln(r),
então
f(r)=r^{2}\cdot2\,\ln(r)=2\,r^{2}\ln(r).
Alternativamente, colocando t=r^{2} (porta de entrada positiva), obtemos a forma univariada
f(t)=t\,\ln(t),\quad t\to0^{+}.

Passo 4

É conhecido que
\lim_{t\to0^{+}}t\,\ln(t)=0,
pois t\to0 e \ln(t)\to-\infty de modo que o produto tende a zero.

Resposta

0

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