Achar o maior subconjunto de
no qual
seja contínua, sendo:
Passo 1
O enunciado pede: “Achar o maior subconjunto de
no qual
seja contínua”, sendo dada a função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma fração cujo numerador é
, e cujo denominador é . - A continuidade de
só pode ser avaliada em pontos onde está definida (isto é, onde o denominador não é zero). - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Entender o que significa “ser contínua” em
. Vou explicar de um jeito prático e sem formalidade pesada:
- Dizemos que uma função
é contínua em um ponto se ao nos aproximarmos de por quaisquer sequências ou caminhos, os valores se aproximam de . - Para que isso faça sentido, a função precisa estar definida em
. Se nem existe ali, não podemos dizer que é contínua naquele ponto. - Fato importante (que vou usar): somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas; e o quociente
é contínuo em pontos onde e são contínuas e é diferente de zero nesse ponto.
Passo 3
Aplicando o conceito à nossa função. Primeiro, identificar funções mais simples que aparecem:
- A função constante
é contínua em todo . - As funções
e são contínuas em todo . - Polinômios em
e , por exemplo e , são contínuos (produto e composição de contínuas). - Portanto a função
é contínua em todo
(soma e subtração de contínuas).
Passo 4
Agora uso o teorema do quociente: se o numerador e denominador são contínuos e o denominador é não nulo num ponto, então o quociente é contínuo nesse ponto. No nosso caso o numerador é
(contínua) e o denominador é
(contínua). Portanto
será contínua em todo ponto onde
.
Então a condição para continuidade é simplesmente
Passo 5
Resolver a equação que faz o denominador ser zero (isto é importante para descrever o conjunto onde
NÃO é contínua). A equação
é equivalente a
que é justamente a circunferência unidade (o círculo de raio
centrado na origem) em
.
Passo 6
Concluir qual é o maior subconjunto onde
é contínua:
- Pelo Passo 4,
é contínua em todos os pontos onde . - Pelo Passo 5, os pontos onde esse termo é zero formam a circunferência
. - Logo o maior subconjunto de
onde é contínua é o complemento dessa circunferência:
Passo 7
Só para fechar com uma observação didática (por que não dá para estender
de forma contínua à circunferência):
- Em coordenadas polares
temos
- Ao aproximar um ponto da circunferência por
(de dentro do círculo) o denominador tende a e . - Ao aproximar por
(de fora do círculo) o denominador tende a e . - Como os limites laterais (vindos de dentro e de fora) não coincidem nem são finitos, não existe limite finito na circunferência; portanto não é possível definir ou estender
de forma contínua nesses pontos.