Achar o maior subconjunto de mathbb{R}^{2} no qual f seja contínua, sendo:
f(x, y)=\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: “Achar o maior subconjunto de \mathbb{R}^{2} no qual f seja contínua”, sendo dada a função
f(x,y)=\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma fração cujo numerador é \,1, e cujo denominador é \,1-x^{2}-y^{2}.
  • A continuidade de f só pode ser avaliada em pontos onde f está definida (isto é, onde o denominador não é zero).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Entender o que significa “ser contínua” em \mathbb{R}^{2}. Vou explicar de um jeito prático e sem formalidade pesada:
  • Dizemos que uma função F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é contínua em um ponto (x_{0},y_{0}) se ao nos aproximarmos de (x_{0},y_{0}) por quaisquer sequências ou caminhos, os valores F(x,y) se aproximam de F(x_{0},y_{0}).
  • Para que isso faça sentido, a função precisa estar definida em (x_{0},y_{0}). Se F nem existe ali, não podemos dizer que é contínua naquele ponto.
  • Fato importante (que vou usar): somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas; e o quociente A/B é contínuo em pontos onde A e B são contínuas e B é diferente de zero nesse ponto.

Passo 3

Aplicando o conceito à nossa função. Primeiro, identificar funções mais simples que aparecem:
  • A função constante (x,y)\mapsto 1 é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • As funções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Polinômios em x e y, por exemplo (x,y)\mapsto x^{2} e (x,y)\mapsto y^{2}, são contínuos (produto e composição de contínuas).
  • Portanto a função
g(x,y)=1-x^{2}-y^{2}
é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (soma e subtração de contínuas).

Passo 4

Agora uso o teorema do quociente: se o numerador e denominador são contínuos e o denominador é não nulo num ponto, então o quociente é contínuo nesse ponto. No nosso caso o numerador é 1 (contínua) e o denominador é g(x,y)=1-x^{2}-y^{2} (contínua). Portanto f(x,y)=1/g(x,y) será contínua em todo ponto onde g(x,y)\neq 0.
Então a condição para continuidade é simplesmente
1-x^{2}-y^{2}\neq 0.

Passo 5

Resolver a equação que faz o denominador ser zero (isto é importante para descrever o conjunto onde f NÃO é contínua). A equação
1-x^{2}-y^{2}=0
é equivalente a
x^{2}+y^{2}=1,
que é justamente a circunferência unidade (o círculo de raio 1 centrado na origem) em \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Concluir qual é o maior subconjunto onde f é contínua:
  • Pelo Passo 4, f é contínua em todos os pontos onde 1-x^{2}-y^{2}\neq 0.
  • Pelo Passo 5, os pontos onde esse termo é zero formam a circunferência \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
  • Logo o maior subconjunto de \mathbb{R}^{2} onde f é contínua é o complemento dessa circunferência:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 1\}.

Passo 7

Só para fechar com uma observação didática (por que não dá para estender f de forma contínua à circunferência):
  • Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) temos
f(r,\theta)=\frac{1}{1-r^{2}}.
  • Ao aproximar um ponto da circunferência por r\to 1^{-} (de dentro do círculo) o denominador tende a 0^{+} e f\to +\infty.
  • Ao aproximar por r\to 1^{+} (de fora do círculo) o denominador tende a 0^{-} e f\to -\infty.
  • Como os limites laterais (vindos de dentro e de fora) não coincidem nem são finitos, não existe limite finito na circunferência; portanto não é possível definir ou estender f de forma contínua nesses pontos.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 1\}

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