Determinar o valor dos seguintes limites (em todos os casos P=(x, y) \rightarrow P_{0}=(0,0) ), caso existam. \lim _{P \rightarrow P_{0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e que informações temos.
O enunciado pede o limite, quando P=(x,y) tende para P_{0}=(0,0), da função
(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A variável P representa o ponto (x,y) no plano.
O ponto alvo é P_{0}=(0,0).
A expressão contém \sin\frac{1}{xy}, então essa expressão só está definida em pontos onde xy\neq0 (nos pontos do eixo x=0 ou y=0 a função não está definida).
O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Ideia chave: a função \sin é limitada. Vou usar a desigualdade fundamental
\left|\sin t\right|\le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{xy} (quando xy\neq0), obtemos
\left|\sin\frac{1}{xy}\right|\le 1.
Multiplicando ambos os lados por o número não-negativo x^{2}+y^{2} (que é \ge 0 para todo (x,y)), obtemos a desigualdade
Expliquei cada passo: usei que \sin é limitada por \pm1 e que x^{2}+y^{2} é não-negativo, então a desigualdade é válida para todos os pontos onde a função está definida (isto é, todos os (x,y) com xy\neq0).
Passo 3
Agora vou usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Primeiro escrevo as desigualdades de confronto:
desde que consideremos pontos em que a função está definida (ou seja, sequências (x_n,y_n) com xy\neq0 que tendem ao 0).
Passo 4
Rigor sobre o domínio (não assuste): a função original não está definida em pontos com xy=0, mas isso não impede a existência do limite em (0,0). O limite em (0,0) considera apenas valores em pontos diferentes de (0,0) e, neste caso, diferentes também dos pontos onde a expressão é indefinida. O importante é que para qualquer sequência de pontos (x_n,y_n) tais que (x_n,y_n)\to(0,0) e x_ny_n\neq0 para todo n, a desigualdade do Passo 2 vale para cada n e então os valores da função são “espremidos” entre números que tendem a 0. Assim toda sequência admissível tem imagem que tende a 0, o que prova a existência do limite e seu valor.
Passo 5
Uma visão alternativa curta (útil para a prova): usar coordenadas polares. Seja
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a função fica
r^{2}\sin\frac{1}{r^{2}\cos\theta\sin\theta}.
Aqui \sin(\cdot) permanece limitada por \pm1, logo o módulo da expressão é \le r^{2}. Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que o produto tende a 0. Isso reforça a conclusão anterior de forma intuitiva: o fator r^{2} (ou x^{2}+y^{2}) anula as oscilações de \sin.