Determinar o valor dos seguintes limites (em todos os casos P=(x, y) \rightarrow P_{0}=(0,0) ), caso existam.
\lim _{P \rightarrow P_{0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e que informações temos.
O enunciado pede o limite, quando P=(x,y) tende para P_{0}=(0,0), da função
(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável P representa o ponto (x,y) no plano.
  • O ponto alvo é P_{0}=(0,0).
  • A expressão contém \sin\frac{1}{xy}, então essa expressão só está definida em pontos onde xy\neq0 (nos pontos do eixo x=0 ou y=0 a função não está definida).
    O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Ideia chave: a função \sin é limitada. Vou usar a desigualdade fundamental
\left|\sin t\right|\le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{xy} (quando xy\neq0), obtemos
\left|\sin\frac{1}{xy}\right|\le 1.
Multiplicando ambos os lados por o número não-negativo x^{2}+y^{2} (que é \ge 0 para todo (x,y)), obtemos a desigualdade
\left|(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy}\right|\le x^{2}+y^{2}.
Expliquei cada passo: usei que \sin é limitada por \pm1 e que x^{2}+y^{2} é não-negativo, então a desigualdade é válida para todos os pontos onde a função está definida (isto é, todos os (x,y) com xy\neq0).

Passo 3

Agora vou usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Primeiro escrevo as desigualdades de confronto:
-(x^{2}+y^{2}) \le (x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy} \le x^{2}+y^{2}.
Observe que as funções de “cima” e “baixo” do confronto são -(x^{2}+y^{2}) e x^{2}+y^{2}. Ambas têm comportamento simples quando P\to P_{0}: como
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=0,
seguem que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} -(x^{2}+y^{2})=0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=0.
Pelo Teorema do Confronto, qualquer função presa entre essas duas que tende ao mesmo limite (aqui 0) também tende a esse limite. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{xy} = 0,
desde que consideremos pontos em que a função está definida (ou seja, sequências (x_n,y_n) com xy\neq0 que tendem ao 0).

Passo 4

Rigor sobre o domínio (não assuste): a função original não está definida em pontos com xy=0, mas isso não impede a existência do limite em (0,0). O limite em (0,0) considera apenas valores em pontos diferentes de (0,0) e, neste caso, diferentes também dos pontos onde a expressão é indefinida. O importante é que para qualquer sequência de pontos (x_n,y_n) tais que (x_n,y_n)\to(0,0) e x_ny_n\neq0 para todo n, a desigualdade do Passo 2 vale para cada n e então os valores da função são “espremidos” entre números que tendem a 0. Assim toda sequência admissível tem imagem que tende a 0, o que prova a existência do limite e seu valor.

Passo 5

Uma visão alternativa curta (útil para a prova): usar coordenadas polares. Seja
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a função fica
r^{2}\sin\frac{1}{r^{2}\cos\theta\sin\theta}.
Aqui \sin(\cdot) permanece limitada por \pm1, logo o módulo da expressão é \le r^{2}. Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que o produto tende a 0. Isso reforça a conclusão anterior de forma intuitiva: o fator r^{2} (ou x^{2}+y^{2}) anula as oscilações de \sin.

Resposta

0

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