(8 pontos)
Um robô anda numa reta com velocidade em metros por segundo dada por
Calcule seu deslocamento entre 0 e 5 segundos.
Um robô anda numa reta com velocidade em metros por segundo dada por
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do robô e pede o deslocamento entre
e
segundos. Informações e pergunta listadas claramente:
- Velocidade:
, com em segundos e em metros por segundo. - Intervalo de tempo: de
até segundos. - Pergunta: calcular o deslocamento do robô entre
e segundos (ou seja, a variação da posição no intervalo).
Passo 2
O que significa “deslocamento” aqui — fórmula que vamos usar:
- Deslocamento é a variação da posição no intervalo de tempo, ou seja a integral definida da velocidade em relação ao tempo.
- Em símbolos: o deslocamento entre
e é
Expliquei: a integral acumula a contribuição da velocidade em cada instante; ela dá a mudança líquida da posição (pode ser positiva ou negativa). Não estou pedindo que você já saiba isso — é a ideia básica de integrar velocidade.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema, com
e
:
Aqui
é a variável de integração (tempo),
é a constante (número 3,1415…), e
é a função seno de
.
Passo 4
Calcular a integral indefinida: precisamos de uma antiderivada de
.
- Regra usada: para uma constante
,
porque a derivada de
é
. Aqui explico passo a passo: derive
,
- No nosso caso
. Então
Também é possível ver direto que
, daí a antiderivada é
.
Passo 5
Agora aplicamos a integral definida usando a antiderivada
:
Expliquei: a notação
significa
. Aqui
.
Passo 6
Calcule as cossenos nas extremidades:
-
. -
(porque o cosseno tem período e ).
Substituindo:
Passo 7
Interpretação final e unidade:
- O resultado
está em metros, pois integramos a velocidade em metros por segundo ao longo do tempo em segundos. - Portanto o deslocamento entre
e é metros. - Observação útil para prova: deslocamento é integral de
; distância percorrida seria , que é diferente se o robô muda de direção. Aqui pediram deslocamento (variação líquida da posição), então .