(8 pontos)
Um robô anda numa reta com velocidade em metros por segundo dada por
v(t)=\pi \operatorname{sen}(\pi t)
Calcule seu deslocamento entre 0 e 5 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do robô e pede o deslocamento entre 0 e 5 segundos. Informações e pergunta listadas claramente:
  • Velocidade: v(t)=\pi \sin(\pi t), com t em segundos e v(t) em metros por segundo.
  • Intervalo de tempo: de t=0 até t=5 segundos.
  • Pergunta: calcular o deslocamento do robô entre 0 e 5 segundos (ou seja, a variação da posição no intervalo).

Passo 2

O que significa “deslocamento” aqui — fórmula que vamos usar:
  • Deslocamento é a variação da posição no intervalo de tempo, ou seja a integral definida da velocidade em relação ao tempo.
  • Em símbolos: o deslocamento entre t=a e t=b é
\Delta x=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Expliquei: a integral acumula a contribuição da velocidade em cada instante; ela dá a mudança líquida da posição (pode ser positiva ou negativa). Não estou pedindo que você já saiba isso — é a ideia básica de integrar velocidade.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema, com a=0 e b=5:
\Delta x=\int_{0}^{5} \pi \sin(\pi t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração (tempo), \pi é a constante (número 3,1415…), e \sin(\pi t) é a função seno de \pi t.

Passo 4

Calcular a integral indefinida: precisamos de uma antiderivada de \pi \sin(\pi t).
  • Regra usada: para uma constante a\neq 0,
\int \sin(a t)\,dt = -\frac{1}{a}\cos(a t) + C,
porque a derivada de \cos(a t) é -a\sin(a t). Aqui explico passo a passo: derive -\frac{1}{a}\cos(a t),
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{a}\cos(a t)\right) = -\frac{1}{a}\cdot(-a)\sin(a t)=\sin(a t).
  • No nosso caso a=\pi. Então
\int \pi \sin(\pi t)\,dt = \pi\cdot\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right)+C = -\cos(\pi t)+C.
Também é possível ver direto que v(t)=\pi\sin(\pi t) = -\dfrac{d}{dt}[\cos(\pi t)], daí a antiderivada é -\cos(\pi t).

Passo 5

Agora aplicamos a integral definida usando a antiderivada -\cos(\pi t):
\Delta x = \left[-\cos(\pi t)\right]_{0}^{5} = -\cos(5\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Expliquei: a notação [F(t)]_{0}^{5} significa F(5)-F(0). Aqui F(t)=-\cos(\pi t).

Passo 6

Calcule as cossenos nas extremidades:
  • \cos(0)=1.
  • \cos(5\pi)=\cos(\pi + 4\pi)=\cos(\pi)=-1 (porque o cosseno tem período 2\pi e \cos(\pi)=-1).
    Substituindo:
\Delta x = -(-1) - \bigl(-1\bigr) = 1 + 1 = 2.

Passo 7

Interpretação final e unidade:
  • O resultado 2 está em metros, pois integramos a velocidade em metros por segundo ao longo do tempo em segundos.
  • Portanto o deslocamento entre t=0 e t=5 é 2 metros.
  • Observação útil para prova: deslocamento é integral de v; distância percorrida seria \int |v(t)|\,dt, que é diferente se o robô muda de direção. Aqui pediram deslocamento (variação líquida da posição), então \Delta x=2\\ \mathrm{m}.

Resposta

\,2\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados