Achar o maior subconjunto de mathbb{R}^{2}\) no qual \(f\) seja contínua, sendo: \(f(x, y)= \begin{cases}\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} & \text { se } x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } x^{2}+y^{2}>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} & \text{se } x^{2}+y^{2}\le 1,\\[4pt] 0 & \text{se } x^{2}+y^{2}>1, \end{cases}
e pede: achar o maior subconjunto de \mathbb{R}^2 no qual f é contínua.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é dada por uma raiz quadrada dentro do disco fechado {(x,y): x{2}+y{2}\le 1}.
  • Fora desse disco (no exterior), a função vale0.
  • No círculo {(x,y): x{2}+y{2}=1} a definição usa a primeira linha, e aí \sqrt{1-1}=0.
]
A pergunta é se existe algum ponto onde f deixe de ser contínua; se não houver, o maior subconjunto contínuo será todo \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Vou lembrar o conceito que vou usar (de forma simples): uma função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua num ponto p se, quando (x,y) se aproxima de p, g(x,y) se aproxima de g(p). Uma maneira prática de provar continuidade é usar que somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas; por exemplo, polinômios são contínuos e a função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty).

Passo 3

Verificação de continuidade em pontos estritamente dentro do disco: pontos com x^{2}+y^{2}<1.
Explicação didática:
  • A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é polinomial nas coordenadas, logo contínua.
  • A função t\mapsto 1-t é contínua e a composição com t=x^{2}+y^{2} é contínua.
  • A função s\mapsto \sqrt{s} é contínua para s\ge 0. Como para pontos com x^{2}+y^{2}<1 temos 1-x^{2}-y^{2}>0, a composição
(x,y)\mapsto \sqrt{\,1-x^{2}-y^{2}\,}
é composição de funções contínuas em um domínio onde a raiz está bem definida e estritamente positiva; portanto é contínua nesses pontos.
Conclusão do passo: todo ponto com \;x^{2}+y^{2}<1\; é ponto de continuidade de f.

Passo 4

Verificação de continuidade em pontos estritamente fora do disco: pontos com x^{2}+y^{2}>1.
Explicação didática:
  • Fora do disco a função é a função constante f(x,y)=0. Funções constantes são contínuas: se f(p)=0, então f(x,y)-f(p)=0 para todo (x,y), logo o limite quando (x,y)\to p é 0.
  • Portanto todo ponto com \;x^{2}+y^{2}>1\; é ponto de continuidade de f.

Passo 5

A parte mais delicada: verificar continuidade nos pontos da fronteira, ou seja, no círculo \{(x,y): x^{2}+y^{2}=1\}.
Observação importante do enunciado (já mencionada): para um ponto p com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1 a definição de f
f(x_{0},y_{0})=\sqrt{1-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}}=\sqrt{0}=0.
Ou seja, no lugar onde as duas receitas (dentro e fora) se encontram, o valor é 0, que é o mesmo que a definição exterior dá quando nos aproximamos do círculo. Já isso é uma boa pista de continuidade, mas vamos provar com mais cuidado.

Passo 6

Prova rigorosa (mas acessível) de continuidade num ponto p=(x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.
Definimos r^{2}=x^{2}+y^{2} e r_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.
Para qualquer (x,y) temos por definição de f que f(x,y)\ge 0 e, mais precisamente,
f(x,y)=\sqrt{\max\{0,\,1-(x^{2}+y^{2})\}}.
Usamos a desigualdade útil entre raízes: para a,b\ge 0 vale
\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|^{2}=a+b-2\sqrt{ab}\le |a-b|,
logo
\bigl|\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr|\le \sqrt{|a-b|}.
No nosso caso tomamos b=0 (porque f(x_{0},y_{0})=0) e a=\max\{0,\,1-(x^{2}+y^{2})\}, então
|f(x,y)-f(x_{0},y_{0})|=f(x,y)=\sqrt{\max\{0,\,1-(x^{2}+y^{2})\}}\le \sqrt{\bigl|1-(x^{2}+y^{2})\bigr|}.
Agora, a função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua, e em particular (x^{2}+y^{2})\to 1 quando (x,y)\to (x_{0},y_{0}). Portanto \bigl|1-(x^{2}+y^{2})\bigr|\to 0 e assim \sqrt{\bigl|1-(x^{2}+y^{2})\bigr|}\to 0. Pelas desigualdades acima isto implica que f(x,y)\to 0=f(x_{0},y_{0}) quando (x,y)\to(x_{0},y_{0}).
Versão em linguagem epsilon-delta (curta): dado \varepsilon>0, como (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua em (x_{0},y_{0}) existe \delta>0 tal que \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta implica \bigl|1-(x^{2}+y^{2})\bigr|<\varepsilon^{2}. Pela desigualdade anterior isso garante |f(x,y)-0|<\varepsilon. Logo f é contínua em p.

Passo 7

Conclusão final (juntando os casos):
  • Pontos com \;x^{2}+y^{2}<1\;: f é contínua (composição de funções contínuas).
  • Pontos com \;x^{2}+y^{2}>1\;: f é contínua (constante).
  • Pontos com \;x^{2}+y^{2}=1\;: f é contínua pelo argumento do passo anterior (os dois lados se aproximam de 0).
Portanto não existe nenhum ponto em \mathbb{R}^2 onde f seja descontínua.

Resposta

\mathbb{R}^{2}

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