Pras seguintes funções, dê os intervalos em quais ela é convexa e em quais ela é côncava:
(g) f(x)=x^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede: para a função f(x)=x^{2}\ln(x), determinar os intervalos em que a função é convexa e os intervalos em que é côncava.
Informações dadas que vamos usar: o enunciado fornece a expressão f(x)=x^{2}\ln(x). Observação importante sobre domínio: a função \ln(x) está definida apenas para x>0, então o domínio natural da função é (0,\infty).

Passo 2

Para decidir convexidade ou concavidade de uma função duas vezes diferenciável, usamos o sinal da segunda derivada: se f''(x)>0 num intervalo, f é convexa ali; se f''(x)<0, f é côncava ali; se f''(x)=0 pode ser ponto de inflexão. (Vou aplicar isso passo a passo nas próximas contas.)

Passo 3

Primeiro calculemos a primeira derivada f'(x). Temos uma multiplicação x^{2}\cdot \ln(x), então usamos a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\ln(x), então
(f)'\;=\;u'v+uv'.
Aqui u'(x)=2x e v'(x)=\dfrac{1}{x}. Aplicando:
f'(x)=2x\cdot\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo:
f'(x)=2x\ln(x)+x.
Para facilitar a derivação seguinte, fatoramos f'(x):
f'(x)=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) derivando f'(x). Podemos derivar a forma não fatorada ou aplicar a regra do produto novamente. Vou derivar a forma 2x\ln(x)+x usando regra do produto no primeiro termo e regra da soma:
derivada de 2x\ln(x) — seja a(x)=2x e b(x)=\ln(x), então (a b)' = a' b + a b' = 2\ln(x) + 2x\cdot\frac{1}{x} = 2\ln(x)+2.
Derivada de x é 1. Portanto,
f''(x)=\bigl(2\ln(x)+2\bigr)+1 = 2\ln(x)+3.

Passo 5

Temos a expressão fechada para a segunda derivada:
f''(x)=2\ln(x)+3.
Agora analisamos o sinal dessa função para x no domínio (0,\infty).
  • Para encontrar onde f''(x)>0, resolvemos
2\ln(x)+3>0.
Subtraindo 3 e dividindo por 2:
\ln(x) > -\tfrac{3}{2}.
Aplicando exponencial (função crescente) aos dois lados:
x > e^{-3/2}.
  • Para f''(x)<0, fazemos o contrário:
2\ln(x)+3<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x)<-\tfrac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x<e^{-3/2}.
Note que e^{-3/2}=e^{-1{,}5}\approx 0{,}223130. Também há o ponto onde f''(x)=0, que ocorre em
2\ln(x)+3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x)=-\tfrac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x=e^{-3/2}.
Esse ponto está dentro do domínio (0,\infty), portanto é um ponto de inflexão (a segunda derivada muda de sinal ali).

Passo 6

Interpretação final (sem repetir a resposta resumida): na parte do domínio com 0<x<e^{-3/2} temos f''(x)<0 então a curva é côncava nesse intervalo; para x>e^{-3/2} temos f''(x)>0 então a curva é convexa nesse intervalo; em x=e^{-3/2} ocorre a mudança (inflação de concavidade para convexidade).

Resposta

Convexa em \bigl(e^{-3/2},\infty\bigr)
Côncava em \bigl(0,e^{-3/2}\bigr)

Exercícios relacionados