Pras seguintes funções, dê os intervalos em quais ela é convexa e em quais ela é côncava:
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede: para a função
, determinar os intervalos em que a função é convexa e os intervalos em que é côncava.
Informações dadas que vamos usar: o enunciado fornece a expressão . Observação importante sobre domínio: a função
está definida apenas para
, então o domínio natural da função é
.
Informações dadas que vamos usar: o enunciado fornece a expressão
Passo 2
Para decidir convexidade ou concavidade de uma função duas vezes diferenciável, usamos o sinal da segunda derivada: se
num intervalo,
é convexa ali; se
,
é côncava ali; se
pode ser ponto de inflexão. (Vou aplicar isso passo a passo nas próximas contas.)
Passo 3
Primeiro calculemos a primeira derivada
. Temos uma multiplicação
, então usamos a regra do produto: se
e
, então
Aqui
e
. Aplicando:
Simplificando o segundo termo:
Para facilitar a derivação seguinte, fatoramos
:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
. Podemos derivar a forma não fatorada ou aplicar a regra do produto novamente. Vou derivar a forma
usando regra do produto no primeiro termo e regra da soma:
derivada de — seja
e
, então
Derivada de é
. Portanto,
derivada de
Derivada de
Passo 5
Temos a expressão fechada para a segunda derivada:
Agora analisamos o sinal dessa função para
no domínio
.
- Para encontrar onde
, resolvemos
Subtraindo
e dividindo por
:
Aplicando exponencial (função crescente) aos dois lados:
- Para
, fazemos o contrário:
Note que
. Também há o ponto onde
, que ocorre em
Esse ponto está dentro do domínio
, portanto é um ponto de inflexão (a segunda derivada muda de sinal ali).
Passo 6
Interpretação final (sem repetir a resposta resumida): na parte do domínio com
temos
então a curva é côncava nesse intervalo; para
temos
então a curva é convexa nesse intervalo; em
ocorre a mudança (inflação de concavidade para convexidade).
Resposta
Convexa em
Côncava em
Côncava em