Achar max e min do função f(x, y, z)=x+2 y+3 z na superficie x^{2}+2 y^{2}+9 z^{2}=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x+2y+3z sujeitos à superfície definida por x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5.\n
Informações dadas:
f(x,y,z)=x+2y+3z.
A superfície (restrição) é \;x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5.\n
O que se pergunta:
  • Quais são os pontos (x,y,z) na superfície onde f atinge máximo e mínimo?\
  • Quais são os valores máximo e mínimo de f sob essa restrição?

Passo 2

Por que existe máximo e mínimo? Vou explicar rapidinho: a superfície \;x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5 é uma elipsoide fechada e limitada (ou seja, compacta). A função f é contínua. Teorema básico de análise diz que uma função contínua definida em um conjunto compacto alcança máximo e mínimo. Então sabemos que existe pelo menos um máximo e um mínimo na restrição — agora precisamos achá‑los explicitamente.

Passo 3

Escolha do método e ideia principal (aula rápida): vou usar multiplicadores de Lagrange. O princípio é: para uma função f com uma restrição g(x,y,z)=0, extremos sujeitos a essa restrição ocorrem quando o vetor gradiente de f é paralelo ao vetor gradiente de g. Formalmente, existe \lambda tal que
\nabla f = \lambda \nabla g.
Aqui g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+9z^{2}-5. Explico o porquê de usar isso: é direto, gera um sistema algébrico simples e evita parametrizar a elipsoide. Outra alternativa seria reescrever usando desigualdade de Cauchy–Schwarz com mudança de variável, mas Lagrange é mais direto e mecânico para este tipo de problema.

Passo 4

Cálculo dos gradientes (o que é gradiente?): o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f. Ele aponta na direção de maior crescimento de f. Para nossa função:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) = (1,2,3).
Para g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+9z^{2}-5 temos
\nabla g = (2x,4y,18z).

Passo 5

Escrever as equações de Lagrange: pedimos \nabla f = \lambda \nabla g, isto é
(1,2,3)=\lambda(2x,4y,18z).
Isto gera um sistema de três equações escalares:
1 = 2\lambda x,\qquad 2 = 4\lambda y,\qquad 3 = 18\lambda z.
Além disso a solução deve satisfazer a restrição
x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5.

Passo 6

Resolver as três equações para x,y,z em função de \lambda. Da primeira:
x=\frac{1}{2\lambda}.
Da segunda:
y=\frac{2}{4\lambda}=\frac{1}{2\lambda}.
Da terceira:
z=\frac{3}{18\lambda}=\frac{1}{6\lambda}.

Passo 7

Substituir essas expressões na restrição para encontrar \lambda. Calculamos os quadrados:
x^{2}=\frac{1}{4\lambda^{2}},\qquad y^{2}=\frac{1}{4\lambda^{2}},\qquad z^{2}=\frac{1}{36\lambda^{2}}.
Substituindo em \;x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5 temos
\frac{1}{4\lambda^{2}} + 2\cdot\frac{1}{4\lambda^{2}} + 9\cdot\frac{1}{36\lambda^{2}} = 5.
Agora simplifico termo a termo: \frac{1}{4\lambda^{2}}+ \frac{2}{4\lambda^{2}}=\frac{3}{4\lambda^{2}}. E 9\cdot\frac{1}{36\lambda^{2}}=\frac{1}{4\lambda^{2}}. Somando:
\frac{3}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}=\frac{4}{4\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
Logo
\frac{1}{\lambda^{2}}=5 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{1}{5}.
Portanto \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 8

Encontrar os pontos correspondentes para cada valor de \lambda.
Para \lambda=\frac{1}{\sqrt{5}}:
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2\cdot(1/\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}}{2},
y=\frac{1}{2\lambda}=\frac{\sqrt{5}}{2},
z=\frac{1}{6\lambda}=\frac{1}{6\cdot(1/\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}}{6}.
Para \lambda=-\frac{1}{\sqrt{5}}:
x=-\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad y=-\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad z=-\frac{\sqrt{5}}{6}.

Passo 9

Calcular os valores de f nesses pontos para identificar máximo e mínimo.
No ponto \left(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{6}\right):
f=x+2y+3z=\frac{\sqrt{5}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{5}}{6}.
Faço passo a passo: \frac{\sqrt{5}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}. E 3\cdot\frac{\sqrt{5}}{6}=\frac{3\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2}. Somando:
\frac{3\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}.
Então f=2\sqrt{5} nesse ponto.
No ponto \left(-\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{\sqrt{5}}{6}\right) o valor de f será o negativo:
f=-2\sqrt{5}.

Passo 10

Conclusão e verificação qualitativa: como existem exatamente dois pontos críticos reconhecidos e a superfície é compacta, esses dois pontos correspondem de fato ao máximo e ao mínimo globais sob a restrição. O valor maior é 2\sqrt{5} e o menor é -2\sqrt{5}. (Interpretação geométrica rápida: a linha de maior crescimento de f toca a elipsoide em um ponto; o oposto dá o mínimo.)

Resposta

Máximo: f_{\max}=2\sqrt{5} em \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right)\n
Mínimo: f_{\min}=-2\sqrt{5} em \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right)

Exercícios relacionados