Achar max e min do função
na superficie
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
sujeitos à superfície definida por
.\n
Informações dadas:
.
A superfície (restrição) é .\n
O que se pergunta:
Informações dadas:
A superfície (restrição) é
O que se pergunta:
- Quais são os pontos
na superfície onde atinge máximo e mínimo?\ - Quais são os valores máximo e mínimo de
sob essa restrição?
Passo 2
Por que existe máximo e mínimo? Vou explicar rapidinho: a superfície
é uma elipsoide fechada e limitada (ou seja, compacta). A função
é contínua. Teorema básico de análise diz que uma função contínua definida em um conjunto compacto alcança máximo e mínimo. Então sabemos que existe pelo menos um máximo e um mínimo na restrição — agora precisamos achá‑los explicitamente.
Passo 3
Escolha do método e ideia principal (aula rápida): vou usar multiplicadores de Lagrange. O princípio é: para uma função
com uma restrição
, extremos sujeitos a essa restrição ocorrem quando o vetor gradiente de
é paralelo ao vetor gradiente de
. Formalmente, existe
tal que
Aqui
. Explico o porquê de usar isso: é direto, gera um sistema algébrico simples e evita parametrizar a elipsoide. Outra alternativa seria reescrever usando desigualdade de Cauchy–Schwarz com mudança de variável, mas Lagrange é mais direto e mecânico para este tipo de problema.
Passo 4
Cálculo dos gradientes (o que é gradiente?): o gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
. Ele aponta na direção de maior crescimento de
. Para nossa função:
Para
temos
Passo 5
Escrever as equações de Lagrange: pedimos
, isto é
Isto gera um sistema de três equações escalares:
Além disso a solução deve satisfazer a restrição
Passo 6
Resolver as três equações para
em função de
. Da primeira:
Da segunda:
Da terceira:
Passo 7
Substituir essas expressões na restrição para encontrar
. Calculamos os quadrados:
Substituindo em
temos
Agora simplifico termo a termo:
. E
. Somando:
Logo
Portanto
.
Passo 8
Encontrar os pontos correspondentes para cada valor de
.
Para
:
Para
:
Passo 9
Calcular os valores de
nesses pontos para identificar máximo e mínimo.
No ponto
:
Faço passo a passo:
. E
. Somando:
Então
nesse ponto.
No ponto
o valor de
será o negativo:
Passo 10
Conclusão e verificação qualitativa: como existem exatamente dois pontos críticos reconhecidos e a superfície é compacta, esses dois pontos correspondem de fato ao máximo e ao mínimo globais sob a restrição. O valor maior é
e o menor é
. (Interpretação geométrica rápida: a linha de maior crescimento de
toca a elipsoide em um ponto; o oposto dá o mínimo.)
Resposta
Máximo:
em
\n
Mínimo: em
Mínimo: