Achar max e min dr função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}+2 x y no dominio D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+3 y^{2}=5\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2xy no domínio D=\{(x,y)\mid 2x^{2}+3y^{2}=5\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser otimizada é f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2xy.
  • A restrição (domínio) é a curva elíptica \;2x^{2}+3y^{2}=5.
  • Queremos os pontos em D onde f atinge seu máximo e seu mínimo, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Estratégia (introdução didática do método que vamos usar). Vou usar multiplicadores de Lagrange: é um método para otimizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0. A ideia básica é que no ponto de extremo sob restrição o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso se escreve como
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real). Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y) e \nabla g=(\partial g/\partial x,\partial g/\partial y). Explico por que: ao se mover ao longo da curva g=0, variações admissíveis de (x,y) são ortogonais a \nabla g; no extremo a derivada de f nessa direção deve ser zero, então \nabla f tem que ser combinação linear de \nabla g, isto é, paralelo.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso problema. Definimos a função da restrição
g(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-5,
que deve ser zero. Calculamos os gradientes:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\left(2x+2y,\;4y+2x\right),
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right) =\left(4x,\;6y\right).
A condição de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g dá o sistema
2x+2y=\lambda\cdot 4x,
4y+2x=\lambda\cdot 6y,
juntamente com a restrição
2x^{2}+3y^{2}=5.

Passo 4

Vamos simplificar o sistema de derivadas dividindo por 2 onde convém. As equações ficam
(1)\quad x+y-2\lambda x=0\quad\Longrightarrow\quad(1-2\lambda)x+y=0,
(2)\quad x+2y-3\lambda y=0\quad\Longrightarrow\quad x+(2-3\lambda)y=0.
Isso é um sistema linear homogêneo em (x,y). Para existir solução não-trivial (ou seja, pontos diferentes de (0,0), e note que (0,0) não satisfaz a restrição), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero:
\det\begin{pmatrix}1-2\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 2-3\lambda\end{pmatrix}=0.]

Passo 5

Calculemos o determinante:
(1-2\lambda)(2-3\lambda)-1=0.
Expandindo,
2-7\lambda+6\lambda^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad 6\lambda^{2}-7\lambda+1=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é \Delta=(-7)^{2}-4\cdot 6\cdot 1=49-24=25. Assim
\lambda=\frac{7\pm 5}{12}.
Portanto as duas possibilidades são
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Agora tratamos cada caso separadamente.
Caso \lambda_{1}=1. Substituindo em (1-2\lambda)x+y=0 temos
(1-2\cdot 1)x+y=( -1)x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=x.
Usando a restrição \;2x^{2}+3y^{2}=5 com y=x obtemos
2x^{2}+3x^{2}=5\quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}=5\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1.
Logo x=\pm 1 e, como y=x, os pontos são (1,1) e (-1,-1).
Calculamos f nesses pontos:
f(1,1)=1^{2}+2\cdot 1^{2}+2\cdot 1\cdot 1=1+2+2=5,
f(-1,-1)=(-1)^{2}+2(-1)^{2}+2(-1)(-1)=1+2+2=5.
Portanto em ambos f=5.

Passo 7

Caso \lambda_{2}=\frac{1}{6}. Substituindo em (1-2\lambda)x+y=0 temos
\left(1-2\cdot\frac{1}{6}\right)x+y=\left(1-\frac{1}{3}\right)x+y=\frac{2}{3}x+y=0,
ou seja
y=-\frac{2}{3}x.
(Verificação com a segunda equação dá a mesma relação, portanto consistente.) Substituindo essa relação na restrição:
2x^{2}+3y^{2}=2x^{2}+3\left(\frac{4}{9}x^{2}\right)=2x^{2}+\frac{12}{9}x^{2}=2x^{2}+\frac{4}{3}x^{2}=\frac{10}{3}x^{2}=5.
Assim
x^{2}=5\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{2}.
Logo
x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.
E
y=-\frac{2}{3}x=\mp\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}=\mp\frac{\sqrt{6}}{3}.
Os pontos são \left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) e \left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{3}\right).

Passo 8

Calculemos f nesses pontos. Como y=-\tfrac{2}{3}x, podemos escrever f em função de x:
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2xy = x^{2}+2\left(\frac{4}{9}x^{2}\right)+2x\left(-\frac{2}{3}x\right) = x^{2}+\frac{8}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x^{2}.
Somando termos (colocando em denominador 9):
x^{2}=\frac{9}{9}x^{2},\quad \frac{9}{9}+\frac{8}{9}-\frac{12}{9}=\frac{5}{9},
logo
f=\frac{5}{9}x^{2}.
Com x^{2}=\frac{3}{2} achamos
f=\frac{5}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}.
Assim em ambos os pontos dessa família f=\frac{5}{6}.

Passo 9

Comparando os valores obtidos: temos valores f=5 nos pontos (1,1) e (-1,-1), e f=\tfrac{5}{6} nos pontos \left(\tfrac{\sqrt{6}}{2},-\tfrac{\sqrt{6}}{3}\right) e \left(-\tfrac{\sqrt{6}}{2},\tfrac{\sqrt{6}}{3}\right). Como \tfrac{5}{6}<5, concluímos que o valor máximo de f em D é 5 e o valor mínimo é \tfrac{5}{6}.

Resposta

Máx: f_{\max}=5 em (1,1) e em (-1,-1).
Min: f_{\min}=\dfrac{5}{6} em \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2},-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) e em \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right).

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