Achar max e min dr função
no dominio
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores máximo e mínimo da função
no domínio
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser otimizada é
. - A restrição (domínio) é a curva elíptica
. - Queremos os pontos em
onde atinge seu máximo e seu mínimo, e os respectivos valores de .
Passo 2
Estratégia (introdução didática do método que vamos usar). Vou usar multiplicadores de Lagrange: é um método para otimizar uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia básica é que no ponto de extremo sob restrição o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso se escreve como
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real). Aqui
e
. Explico por que: ao se mover ao longo da curva
, variações admissíveis de
são ortogonais a
; no extremo a derivada de
nessa direção deve ser zero, então
tem que ser combinação linear de
, isto é, paralelo.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso problema. Definimos a função da restrição
que deve ser zero. Calculamos os gradientes:
A condição de Lagrange
dá o sistema
juntamente com a restrição
Passo 4
Vamos simplificar o sistema de derivadas dividindo por
onde convém. As equações ficam
Isso é um sistema linear homogêneo em
. Para existir solução não-trivial (ou seja, pontos diferentes de
, e note que
não satisfaz a restrição), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero:
Passo 5
Calculemos o determinante:
Expandindo,
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara): o discriminante é
. Assim
Portanto as duas possibilidades são
Passo 6
Agora tratamos cada caso separadamente.
Caso
. Substituindo em
temos
Usando a restrição
com
obtemos
Logo
e, como
, os pontos são
e
.
Calculamos
nesses pontos:
Portanto em ambos
.
Passo 7
Caso
. Substituindo em
temos
ou seja
(Verificação com a segunda equação dá a mesma relação, portanto consistente.) Substituindo essa relação na restrição:
Assim
Logo
E
Os pontos são
e
.
Passo 8
Calculemos
nesses pontos. Como
, podemos escrever
em função de
:
Somando termos (colocando em denominador
):
logo
Com
achamos
Assim em ambos os pontos dessa família
.
Passo 9
Comparando os valores obtidos: temos valores
nos pontos
e
, e
nos pontos
e
. Como
, concluímos que o valor máximo de
em
é
e o valor mínimo é
.
Resposta
Máx:
em
e em
.
Min: em
e em
.
Min: