Achar max e min do função
na superficie
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se encontrar o máximo e o mínimo da função
restrita à superfície dada por . - Informação dada: a superfície é o conjunto de pontos
que satisfazem (uma elipsoide centrada na origem). A função é linear em . - Não há outras restrições além dessa equação.
Passo 2
Por que faz sentido procurar extremos e por que eles existem (intuição rápida e útil para prova):
- A superfície
é um conjunto fechado e limitado (uma elipsoide). Em linguagem simples: é compacta. - A função
é contínua (na verdade linear). Uma função contínua em um conjunto compacto sempre atinge valor máximo e mínimo. Logo, existem pontos na elipsoide onde atinge seus extremos. - Portanto podemos procurar pontos críticos da restrição; o método de multiplicadores de Lagrange é apropriado para localizar esses pontos.
Passo 3
Apresentando o método dos multiplicadores de Lagrange (aula curta e intuitiva):
- Quando queremos extremizar
sujeito a uma restrição , a ideia é que no ponto extremo, o vetor gradiente de deve ser paralelo ao gradiente de . Em símbolos:
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real).
- Aqui
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais de : . - Intuição:
aponta na direção de aumento mais rápido de . No ponto extremo na superfície, não podemos aumentar movendo-nos ao longo da superfície; assim a direção de maior variação de deve ser perpendicular à superfície — e é perpendicular à superfície. Logo e são colineares.
Passo 4
Calcular os gradientes e escrever as equações de Lagrange:
- Calcule
:
pois
.
- Calcule
com :
- As equações de Lagrange são
juntamente com a restrição
- Escrevendo coordenada a coordenada:
Passo 5
Resolver as equações para
em função de
:
- Da primeira equação:
- Da segunda:
- Da terceira:
- Observação: aqui já vemos uma relação entre as coordenadas:
e (porque e ) — isso ajuda a reduzir contas.
Passo 6
Substituir
na restrição para encontrar
:
- Substituindo em
:
- Calcule termo a termo:
- Somando:
- Portanto a equação fica
- Logo
Passo 7
Encontrar os pontos
correspondentes a cada
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Avaliar
nesses pontos (contas passo a passo):
- Em
:
- Calcule cada parcela:
- Somando:
- Em
os termos são todos negativos, portanto
Passo 9
Concluir qual é máximo e qual é mínimo e por quê (resumo final e motivo):
- Encontrámos dois candidatos críticos na superfície. Pelo fato da superfície ser compacta e
contínua, esses candidatos são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais (basta comparar os valores). - O maior valor obtido foi
no ponto . - O menor valor obtido foi
no ponto . - Intuitivamente, a função linear
atinge extremos na elipsoide em pontos opostos (antipodais) onde a direção de é perpendicular à superfície — isso é exatamente o que a condição de Lagrange garante.
Resposta
Máximo:
em
.\nMínimo:
em
.