Achar max e min do função f(x, y, z)=x+2 y+3 z na superficie x^{2}+2 y^{2}+9 z^{2}=5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se encontrar o máximo e o mínimo da função f(x,y,z)=x+2y+3z restrita à superfície dada por x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5.
  • Informação dada: a superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5\; (uma elipsoide centrada na origem). A função f é linear em x,y,z.
  • Não há outras restrições além dessa equação.

Passo 2

Por que faz sentido procurar extremos e por que eles existem (intuição rápida e útil para prova):
  • A superfície \{(x,y,z)\mid x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5\} é um conjunto fechado e limitado (uma elipsoide). Em linguagem simples: é compacta.
  • A função f é contínua (na verdade linear). Uma função contínua em um conjunto compacto sempre atinge valor máximo e mínimo. Logo, existem pontos na elipsoide onde f atinge seus extremos.
  • Portanto podemos procurar pontos críticos da restrição; o método de multiplicadores de Lagrange é apropriado para localizar esses pontos.

Passo 3

Apresentando o método dos multiplicadores de Lagrange (aula curta e intuitiva):
  • Quando queremos extremizar f(x,y,z) sujeito a uma restrição g(x,y,z)=0, a ideia é que no ponto extremo, o vetor gradiente de f deve ser paralelo ao gradiente de g. Em símbolos:
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real).
  • Aqui g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+9z^{2}-5. O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).
  • Intuição: \nabla f aponta na direção de aumento mais rápido de f. No ponto extremo na superfície, não podemos aumentar f movendo-nos ao longo da superfície; assim a direção de maior variação de f deve ser perpendicular à superfície — e \nabla g é perpendicular à superfície. Logo \nabla f e \nabla g são colineares.

Passo 4

Calcular os gradientes e escrever as equações de Lagrange:
  • Calcule \nabla f:
\nabla f=(1,2,3),
pois \partial f/\partial x=1,\; \partial f/\partial y=2,\; \partial f/\partial z=3.
  • Calcule \nabla g com g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+9z^{2}-5:
\nabla g=(2x,4y,18z).
  • As equações de Lagrange são
(1,2,3)=\lambda\,(2x,4y,18z)
juntamente com a restrição
x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5.
  • Escrevendo coordenada a coordenada:
1=2\lambda x,\qquad 2=4\lambda y,\qquad 3=18\lambda z.

Passo 5

Resolver as equações para x,y,z em função de \lambda:
  • Da primeira equação:
x=\frac{1}{2\lambda}.
  • Da segunda:
y=\frac{2}{4\lambda}=\frac{1}{2\lambda}.
  • Da terceira:
z=\frac{3}{18\lambda}=\frac{1}{6\lambda}.
  • Observação: aqui já vemos uma relação entre as coordenadas: x=y e z=\dfrac{x}{3} (porque x=\dfrac{1}{2\lambda} e z=\dfrac{1}{6\lambda}) — isso ajuda a reduzir contas.

Passo 6

Substituir x,y,z na restrição para encontrar \lambda:
  • Substituindo em \;x^{2}+2y^{2}+9z^{2}=5\;:
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}+2\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}+9\left(\frac{1}{6\lambda}\right)^{2}=5.
  • Calcule termo a termo:
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{4\lambda^{2}}, \qquad 2\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{2}{4\lambda^{2}}=\frac{1}{2\lambda^{2}},
9\left(\frac{1}{6\lambda}\right)^{2}=9\cdot\frac{1}{36\lambda^{2}}=\frac{9}{36\lambda^{2}}=\frac{1}{4\lambda^{2}}.
  • Somando:
\frac{1}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{2\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}} =\frac{1+2+1}{4\lambda^{2}}=\frac{4}{4\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}.
  • Portanto a equação fica
\frac{1}{\lambda^{2}}=5.
  • Logo
\lambda^{2}=\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 7

Encontrar os pontos (x,y,z) correspondentes a cada \lambda:
  • Para \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{5}}:
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}, \qquad y=\frac{\sqrt{5}}{2}, \qquad z=\frac{1}{6\lambda}=\frac{1}{6}\cdot\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{6}.
  • Para \lambda=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}:
x=-\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad y=-\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad z=-\frac{\sqrt{5}}{6}.

Passo 8

Avaliar f nesses pontos (contas passo a passo):
  • Em \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right):
f=x+2y+3z =\frac{\sqrt{5}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{5}}{6}.
  • Calcule cada parcela:
\frac{\sqrt{5}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{2\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2},
3\cdot\frac{\sqrt{5}}{6}=\frac{3\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
  • Somando:
\frac{3\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}.
  • Em \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right) os termos são todos negativos, portanto
f=-2\sqrt{5}.

Passo 9

Concluir qual é máximo e qual é mínimo e por quê (resumo final e motivo):
  • Encontrámos dois candidatos críticos na superfície. Pelo fato da superfície ser compacta e f contínua, esses candidatos são, respectivamente, o máximo e o mínimo globais (basta comparar os valores).
  • O maior valor obtido foi 2\sqrt{5} no ponto \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right).
  • O menor valor obtido foi -2\sqrt{5} no ponto \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right).
  • Intuitivamente, a função linear f atinge extremos na elipsoide em pontos opostos (antipodais) onde a direção de \nabla f é perpendicular à superfície — isso é exatamente o que a condição de Lagrange garante.

Resposta

Máximo: f_{\max}=2\sqrt{5} em \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right).\nMínimo: f_{\min}=-2\sqrt{5} em \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{2},-\dfrac{\sqrt{5}}{6}\right).

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