Achar max e min de função
a) locais em
;
b) globais no quadrado
,
b) globais no quadrado
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar os extremos locais da função
em todo
.
- Encontrar os extremos globais (máximo e mínimo) da mesma função restrita ao quadrado cujos vértices são
Informações relevantes que temos:
O domínio da parte (a) é todo
. Para a parte (b) o domínio é o quadrado fechado
.
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos (candidatos a extremos locais) em [\mathbb{R}^{2}). Teoria rápida e prática (bem na calma): um ponto crítico é onde o gradiente de
é o vetor nulo, isto é, onde as derivadas parciais primeiras se anulam. Calcule as parciais:
Essas fórmulas vêm derivando termo a termo: por exemplo,
,
, etc.
Agora impomos o sistema
Da primeira equação isolamos (y]:
Substituímos na segunda equação. Primeiro calcule
. Multiplicando por 3 e somando os outros termos obtemos:
Desenvolvendo:
Agrupando:
Passo 3
Resolvendo a quadrática
. Discriminante:
Como
, as raízes são
Logo
Correspondentes
vindos de
:
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Classificação dos pontos críticos usando a matriz Hessiana. Lembra: Hessiano é a matriz das segundas derivadas e a regra simples (para
) é checar
e o determinante
.
Calcule as segundas derivadas:
Então o determinante do Hessiano é
Avalie em cada ponto crítico:
-
Em
: e . Conclusão: é um ponto de mínimo local estrito. (Regra: se e então mínimo local.) -
Em
: dá
Como
,
é ponto de sela (não é máximo nem mínimo local).
Passo 5
Vamos calcular os valores da função nesses pontos (útil para comparação e para a parte (b)):
Em
:
Em
calculamos com frações para exatidão. Fazendo as contas termo a termo (detalhe razoável):
Somando (com denominador comum
) obtém-se
Confirmamos que é um valor alto, condizente com ser um ponto de sela (não é extremo local).
Passo 6
Agora parte (b): extremos globais no quadrado fechado
. Teoria prática: numa região compacta e contínua, extremos globais existem e ocorrem ou em pontos críticos interiores ou na fronteira. Já achamos o único crítico interior
, e ele pertence ao quadrado (pois
). Então verificamos a fronteira (as quatro arestas).
Vamos analisar cada aresta separadamente reduzindo a
a uma função de uma variável.
Passo 7
Aresta
:
. A função reduzida é
Derivando
, zero em
(está no intervalo). Valores:
Passo 8
Aresta
:
. A função reduzida é
Derivada
. Resolver
:
A raiz relevante em
é
Avaliações:
Passo 9
Aresta
:
. A função reduzida é
Derivada
, zero em
(está no intervalo). Valores:
Passo 10
Aresta
:
. A função reduzida é
Derivada
. Resolver
:
A raiz relevante em
é
Avaliações:
Passo 11
Agora listamos todos os pontos candidatos a extremos na região do quadrado:
- ponto crítico interior:
com . - pontos críticos das arestas e extremos das arestas:
-
: com , com , com . -
: com , com , com . -
: com , com , com . -
: com , com , com .
-
Comparando todos os valores numéricos, o menor é
. O maior entre os pontos do quadrado é
.
Resposta
(a) Mínimo local:
é mínimo local com
.\newline
(a) Ponto de sela: (sela), com
.\newline
(b) No quadrado: mínimo global em com
; máximo global em
com
.
(a) Ponto de sela:
(b) No quadrado: mínimo global em