Achar max e min de função
f(x, y)=y^{3}+x y+x^{2}+5 y^{2}-3 x-14 y
a) locais em \mathbb{R}^{2};
b) globais no quadrado A B C D, A=(0,0) ; \quad B=(2,0) ; \quad C=(2,2), \quad D=(0,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar os extremos locais da função
f(x,y)=y^{3}+x y+x^{2}+5 y^{2}-3 x-14 y
em todo \mathbb{R}^{2}.
  1. Encontrar os extremos globais (máximo e mínimo) da mesma função restrita ao quadrado cujos vértices são
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(2,2),\quad D=(0,2).
Informações relevantes que temos:
f(x,y)=y^{3}+x y+x^{2}+5 y^{2}-3 x-14 y.
O domínio da parte (a) é todo \mathbb{R}^{2}. Para a parte (b) o domínio é o quadrado fechado \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le 2\}.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos (candidatos a extremos locais) em [\mathbb{R}^{2}). Teoria rápida e prática (bem na calma): um ponto crítico é onde o gradiente de f é o vetor nulo, isto é, onde as derivadas parciais primeiras se anulam. Calcule as parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y+2x-3,
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+x+10y-14.
Essas fórmulas vêm derivando termo a termo: por exemplo, \partial (xy)/\partial x = y, \partial (y^{3})/\partial y = 3y^{2}, etc.
Agora impomos o sistema
\begin{cases} y+2x-3=0,\\[4pt] 3y^{2}+x+10y-14=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (y]:
y=3-2x.
Substituímos na segunda equação. Primeiro calcule (3-2x)^{2}=9-12x+4x^{2}. Multiplicando por 3 e somando os outros termos obtemos:
3(9-12x+4x^{2})+x+10(3-2x)-14=0.
Desenvolvendo:
27-36x+12x^{2}+x+30-20x-14=0.
Agrupando:
12x^{2}-55x+43=0.]

Passo 3

Resolvendo a quadrática 12x^{2}-55x+43=0. Discriminante:
\Delta =(-55)^{2}-4\cdot12\cdot43=3025-2064=961.
Como \sqrt{961}=31, as raízes são
x=\frac{55\pm31}{24}.
Logo
x_{1}=\frac{55-31}{24}=\frac{24}{24}=1,\qquad x_{2}=\frac{55+31}{24}=\frac{86}{24}=\frac{43}{12}.
Correspondentes y vindos de y=3-2x:
y_{1}=3-2\cdot1=1,\qquad y_{2}=3-2\cdot\frac{43}{12}=3-\frac{86}{12}=\frac{36-86}{12}=-\frac{50}{12}=-\frac{25}{6}.
Portanto os pontos críticos são
P_{1}=\left(1,1\right),\qquad P_{2}=\left(\frac{43}{12},-\frac{25}{6}\right).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos usando a matriz Hessiana. Lembra: Hessiano é a matriz das segundas derivadas e a regra simples (para 2\times2) é checar f_{xx} e o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=2,\qquad f_{xy}=1,\qquad f_{yy}=6y+10.
Então o determinante do Hessiano é
D= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2(6y+10)-1=12y+19.
Avalie em cada ponto crítico:
  • Em P_{1}=(1,1): D=12\cdot1+19=31>0 e f_{xx}=2>0. Conclusão: P_{1} é um ponto de mínimo local estrito. (Regra: se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.)
  • Em P_{2}=\left(\frac{43}{12},-\frac{25}{6}\right): y=-\frac{25}{6}
D=12\cdot\left(-\frac{25}{6}\right)+19=-50+19=-31<0.
Como D<0, P_{2} é ponto de sela (não é máximo nem mínimo local).

Passo 5

Vamos calcular os valores da função nesses pontos (útil para comparação e para a parte (b)):
Em P_{1}=(1,1):
f(1,1)=1^{3}+1\cdot1+1^{2}+5\cdot1^{2}-3\cdot1-14\cdot1=1+1+1+5-3-14=-9.
Em P_{2}=\left(\frac{43}{12},-\frac{25}{6}\right) calculamos com frações para exatidão. Fazendo as contas termo a termo (detalhe razoável):
y^{3}=-\frac{15625}{216},\quad xy=-\frac{1075}{72},\quad x^{2}=\frac{1849}{144},
5y^{2}=\frac{3125}{36},\quad -3x=-\frac{43}{4},\quad -14y=\frac{175}{3}.
Somando (com denominador comum 432) obtém-se
f\!\left(\frac{43}{12},-\frac{25}{6}\right)=\frac{25903}{432}\approx 59{,}968.
Confirmamos que é um valor alto, condizente com ser um ponto de sela (não é extremo local).

Passo 6

Agora parte (b): extremos globais no quadrado fechado 0\le x\le2,\\\ 0\le y\le2. Teoria prática: numa região compacta e contínua, extremos globais existem e ocorrem ou em pontos críticos interiores ou na fronteira. Já achamos o único crítico interior P_{1}=(1,1), e ele pertence ao quadrado (pois 0\le1\le2). Então verificamos a fronteira (as quatro arestas).
Vamos analisar cada aresta separadamente reduzindo a f a uma função de uma variável.

Passo 7

Aresta AB: y=0,\\\ 0\le x\le2. A função reduzida é
g(x)=f(x,0)=x^{2}-3x.
Derivando g'(x)=2x-3, zero em x=\tfrac{3}{2} (está no intervalo). Valores:
g(0)=0,\quad g\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{9}{4}=-2{,}25,\quad g(2)=-2.

Passo 8

Aresta BC: x=2,\\\ 0\le y\le2. A função reduzida é
h(y)=f(2,y)=y^{3}+5y^{2}-12y-2.
Derivada h'(y)=3y^{2}+10y-12. Resolver 3y^{2}+10y-12=0:
y=\frac{-10\pm\sqrt{244}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{3}.
A raiz relevante em [0,2] é
y=\frac{-5+\sqrt{61}}{3}\approx 0{,}9367.
Avaliações:
h(0)=-2,\quad h\!\left(\frac{-5+\sqrt{61}}{3}\right)\approx -8{,}032,\quad h(2)=2.

Passo 9

Aresta CD: y=2,\\\ 0\le x\le2. A função reduzida é
k(x)=f(x,2)=x^{2}-x.
Derivada k'(x)=2x-1, zero em x=\tfrac{1}{2} (está no intervalo). Valores:
k(0)=0,\quad k\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}=-0{,}25,\quad k(2)=2.

Passo 10

Aresta DA: x=0,\\\ 0\le y\le2. A função reduzida é
m(y)=f(0,y)=y^{3}+5y^{2}-14y.
Derivada m'(y)=3y^{2}+10y-14. Resolver 3y^{2}+10y-14=0:
y=\frac{-10\pm\sqrt{268}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{67}}{3}.
A raiz relevante em [0,2] é
y=\frac{-5+\sqrt{67}}{3}\approx 1{,}0618.
Avaliações:
m(0)=0,\quad m\!\left(\frac{-5+\sqrt{67}}{3}\right)\approx -8{,}0314,\quad m(2)=0.

Passo 11

Agora listamos todos os pontos candidatos a extremos na região do quadrado:
  • ponto crítico interior: \, (1,1) com f=-9.
  • pontos críticos das arestas e extremos das arestas:
    • AB: (0,0) com f=0, \left(\tfrac{3}{2},0\right) com f=-\tfrac{9}{4}, (2,0) com f=-2.
    • BC: (2,0) com f=-2, \left(2,\frac{-5+\sqrt{61}}{3}\right) com f\approx -8{,}032, (2,2) com f=2.
    • CD: (2,2) com f=2, \left(\tfrac{1}{2},2\right) com f=-\tfrac{1}{4}, (0,2) com f=0.
    • DA: (0,2) com f=0, \left(0,\frac{-5+\sqrt{67}}{3}\right) com f\approx -8{,}0314, (0,0) com f=0.
Comparando todos os valores numéricos, o menor é f(1,1)=-9. O maior entre os pontos do quadrado é f(2,2)=2.

Resposta

(a) Mínimo local: (1,1) é mínimo local com f(1,1)=-9.\newline
(a) Ponto de sela: \left(\dfrac{43}{12},-\dfrac{25}{6}\right) (sela), com f\left(\dfrac{43}{12},-\dfrac{25}{6}\right)=\dfrac{25903}{432}.\newline
(b) No quadrado: mínimo global em (1,1) com f(1,1)=-9; máximo global em (2,2) com f(2,2)=2.

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