Achar a menor distância da origem à superfície x^2+2 y^2-z^2=1. O que se pode falar dos pontos (1,0,0) e (-1,0,0) ?

Passo 1

Estamos buscando o ponto da superfície
x^2+2y^2-z^2=1
mais próximo da origem. Como a distância da origem a (x,y,z) é
raizx^2+y^2+z^2,
é equivalente minimizar
;f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito à restrição
;g(x,y,z)=x^2+2y^2-z^2-1=0
Para isso usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Escrevemos
nabla f = lambda,nabla g
isto é
(2x,,2y,,2z) =lambda,(2x,,4y,,-2z)
Isso gera as equações
2x=2lambda x, 2y=4lambda y, 2z=-2lambda z
além de
x^2+2y^2-z^2=1
Como nem todos os coeficientes podem satisfazer simultaneamente valores distintos de lambda, investigamos casos em que x, y ou z sejam zero.

Passo 3

Caso y=0: da restrição vem
x^2-z^2=1Longrightarrow x^2=1+z^2
Então
f=x^2+z^2=1+2z^2,
que é mínimo quando z=0. Logo os pontos candidatos são
(x,y,z)=(pm1,0,0),
com
f=1

Passo 4

Caso z=0: da restrição vem
x^2+2y^2=1Longrightarrow y^2=tfrac1-x^22
Substituindo em f
f=x^2+y^2 =x^2+1-x^22 =12+x^22,
que é mínimo quando x=0. Assim os pontos são
(x,y,z)=(0,pmtfrac1raiz2,0),
com
f=tfrac12

Passo 5

Comparando os valores de f, vemos que o mínimo global é
fmin=tfrac12,
isto é distância mínima
raizfmin=1raiz2
Os pontos (1,0,0) e (-1,0,0) dão f=1, são pontos críticos do sistema de Lagrange mas não correspondem a nenhum extremo mínimo da distância (são pontos de sela na superfície).

Resposta

A menor distância da origem à superfície é tfrac1raiz2, obtida em (0,pmtfrac1raiz2,0).
Os pontos (1,0,0) e (-1,0,0) são pontos críticos mas não realizam o mínimo de distância (são pontos de sela).

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