Achar a menor distância da origem à superfície
. O que se pode falar dos pontos
e
?
Passo 1
Estamos buscando o ponto da superfície
mais próximo da origem. Como a distância da origem a
é
é equivalente minimizar
sujeito à restrição
Para isso usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Escrevemos
isto é
Isso gera as equações
além de
Como nem todos os coeficientes podem satisfazer simultaneamente valores distintos de
, investigamos casos em que
,
ou
sejam zero.
Passo 3
Caso
: da restrição vem
Então
que é mínimo quando
. Logo os pontos candidatos são
com
Passo 4
Caso
: da restrição vem
Substituindo em
dá
que é mínimo quando
. Assim os pontos são
com
Passo 5
Comparando os valores de
, vemos que o mínimo global é
isto é distância mínima
Os pontos
e
dão
, são pontos críticos do sistema de Lagrange mas não correspondem a nenhum extremo mínimo da distância (são pontos de sela na superfície).
Resposta
A menor distância da origem à superfície é
, obtida em
.
Os pontos e
são pontos críticos mas não realizam o mínimo de distância (são pontos de sela).
Os pontos