Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
e, caso ela converja, determinar seu limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, e vamos usar a relação entre sequência e função contínua e, em particular, a regra de l\’Hôpital para limites do tipo “infinito sobre infinito”.
e, caso ela converja, determinar seu limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, e vamos usar a relação entre sequência e função contínua e, em particular, a regra de l\’Hôpital para limites do tipo “infinito sobre infinito”.
Passo 2
Veja que podemos definir a função contínua
para
. Se mostrarmos que
então vale também
Passo 3
Calculemos
Trata-se de um caso “
”, então aplicamos a regra de l\’Hôpital: derivando numerador e denominador, obtemos
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Passo 4
Como
, segue que
Portanto a sequência converge e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e