Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
an=ln (n)n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an=ln(n)n^2
e, caso ela converja, determinar seu limite. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, e vamos usar a relação entre sequência e função contínua e, em particular, a regra de l\’Hôpital para limites do tipo “infinito sobre infinito”.

Passo 2

Veja que podemos definir a função contínua
f(x)=ln(x)x^2
para x>0. Se mostrarmos que
limxtoinftyf(x)=L,
então vale também
limntoinftyan=limntoinftyf(n)=L

Passo 3

Calculemos
limxtoinftyln(x)x^2
Trata-se de um caso “ infty/infty”, então aplicamos a regra de l\’Hôpital: derivando numerador e denominador, obtemos
ddxln(x)=1x, ddxx^2=2x,
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limxtoinftyln(x)x^2 =limxtoinfty1/x2x =limxtoinfty12x^2 =0

Passo 4

Como limxtoinftyf(x)=0, segue que
limntoinftyan=0
Portanto a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyln(n)n^2=0

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