Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
z=x^2+y^2 quando 3 x+2 y=6(a>b>c>0)

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os extremos condicionados de z=x^2+y^2 sob a restrição
3x+2y=6
O que precisamos:
  1. Construir a função de Lagrange L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambda(3x+2y-6).
  2. Resolver o sistema nablaL=0.
  3. Classificar o ponto crítico obtido.

Passo 2

Escrevemos as equações de primeira ordem:
partial Lpartial x=2x-3lambda=0, partial Lpartial y=2y-2lambda=0, partial Lpartial lambda=-(3x+2y-6)=0
Ou seja,
2x=3lambda, 2y=2lambda, 3x+2y=6

Passo 3

Da primeira e segunda equações vem
x=3lambda2, y=lambda
Substituindo em 3x+2y=6:
3l(3lambda2r)+2(lambda)=6 Longrightarrow 9lambda2+2lambda=6 Longrightarrow 13lambda2=6 Longrightarrow lambda=1213
Logo
x=32cdot1213=1813, y=1213
E o valor de z nesse ponto é
zmin =l(1813r)^2+l(1213r)^2 =324+144169 =468169 =3613

Passo 4

Como z=x^2+y^2 é função convexa (matriz Hessiana positiva definida), o ponto crítico é um mínimo global sob a restrição linear. Não há máximo porque a reta 3x+2y=6 é ilimitada em ambas as direções.

Resposta

O único extremo condicionado é um mínimo, que ocorre em
l(x,yr)=l(tfrac1813,tfrac1213r)
e vale
zmin=3613
Não existe máximo condicionado.

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