A temperatura em qualquer ponto (x, y, z) da região 4 x^2+9 y^2+z^2 <= 4 é dada por T(x, y, z)= x^2+y^2-z^2. Encontre as temperaturas máximas e mínimas na região.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
T(x,y,z)=x^2+y^2-z^2
no corpo fechado definido por
4x^2+9y^2+z^2<=4
O conteúdo é otimização de funções com restrição (região compacta); vamos usar gradiente para pontos interiores e multiplicadores de Lagrange na fronteira.

Passo 2

Procuramos primeiros críticos no interior da região, resolvendo
nabla T=(2x,;2y,;-2z)=(0,0,0),
o que dá x=0,;y=0,;z=0. Esse ponto está em 4x^2+9y^2+z^2=0<=4 e vale
T(0,0,0)=0

Passo 3

Na fronteira 4x^2+9y^2+z^2=4 usamos Lagrange. Defina
g(x,y,z)=4x^2+9y^2+z^2-4=0,
e imponha
nabla T=lambda,nabla g
ou seja
(2x,,2y,,-2z)=lambda,(8x,,18y,,2z)

Passo 4

Das componentes temos os sistemas
1. 2x=8lambda x Rightarrow ou x=0 ou lambda=tfrac14.
2. 2y=18lambda y Rightarrow ou y=0 ou lambda=tfrac19.
3. -2z=2lambda z Rightarrow ou z=0 ou lambda=-1.
Como não há lambda comum para todas as três equações, cada ponto ótimo na fronteira terá dois dos três variáveis zerados. Os casos são:
  • xne0,;y=0,;z=0: da restrição 4x^2=4 vem x=pm1.
  • x=0,;yne0,;z=0: da restrição 9y^2=4 vem y=pmtfrac23.
  • x=0,;y=0,;zne0: da restrição z^2=4 vem z=pm2.

Passo 5

Avaliaremos T nos candidatos e no interior:
  • Em (pm1,0,0): T=1^2+0^2-0^2=1
  • Em l(0,pmtfrac23,0r): T=0+l(tfrac23r)^2-0=tfrac49approx0,44
  • Em (0,0,pm2): T=0+0-(2)^2=-4
  • No interior (0,0,0): T=0.
Comparando, o maior valor é 1 e o menor é -4.

Resposta

Máxima temperatura: 1, em (1,0,0) e (-1,0,0).
Mínima temperatura: -4, em (0,0,2) e (0,0,-2).

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