A temperatura em qualquer ponto
da região
é dada por
. Encontre as temperaturas máximas e mínimas na região.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
no corpo fechado definido por
O conteúdo é otimização de funções com restrição (região compacta); vamos usar gradiente para pontos interiores e multiplicadores de Lagrange na fronteira.
Passo 2
Procuramos primeiros críticos no interior da região, resolvendo
o que dá
. Esse ponto está em
e vale
Passo 3
Na fronteira
usamos Lagrange. Defina
e imponha
ou seja
Passo 4
Das componentes temos os sistemas
.
ou
ou
.
.
ou
ou
.
.
ou
ou
.
Como não há comum para todas as três equações, cada ponto ótimo na fronteira terá dois dos três variáveis zerados. Os casos são:
Como não há
-
: da restrição vem . -
: da restrição vem . -
: da restrição vem .
Passo 5
Avaliaremos
nos candidatos e no interior:
- Em
: - Em
: - Em
: - No interior
: .
Comparando, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
Máxima temperatura:
, em
e
.
Mínima temperatura: , em
e
.
Mínima temperatura: