Achar números inteiros
e
que verifiquem a seguinte igualdade:
Passo 1
O enunciado pede soluções inteiras
da equação diofantina
O conteúdo é teoria de números: vamos usar o máximo divisor comum para verificar existência e depois achar a solução geral.
Passo 2
Calcule o máximo divisor comum dos coeficientes:
Como
divide o termo independente
, há soluções. Dividimos tudo por
para simplificar:
Passo 3
Primeiro, encontramos uma solução particular da equação reduzida. Basta escolher dois dos três variáveis convenientemente. Por exemplo, tomemos
Então
, logo
Uma solução particular é
Passo 4
Agora achamos a solução geral da homogênea
Isolamos
:
Para
inteiro é preciso
Como
e
, isso vira
Substituindo em
:
Passo 5
A solução geral da homogênea é
Somando a solução particular
, a solução geral da equação original é
Resposta
A família de soluções inteiras é
Por exemplo,
,
dá
, que de fato satisfaz
.