Achar números inteiros x, y e z que verifiquem a seguinte igualdade:
46 x+8 y+34 z=8

Passo 1

O enunciado pede soluções inteiras (x,y,z) da equação diofantina
46x + 8y + 34z = 8
O conteúdo é teoria de números: vamos usar o máximo divisor comum para verificar existência e depois achar a solução geral.

Passo 2

Calcule o máximo divisor comum dos coeficientes:
gcd(46,8,34) = 2
Como 2 divide o termo independente 8, há soluções. Dividimos tudo por 2 para simplificar:
23x + 4y + 17z = 4

Passo 3

Primeiro, encontramos uma solução particular da equação reduzida. Basta escolher dois dos três variáveis convenientemente. Por exemplo, tomemos
x = 0, z = 0
Então 4y = 4, logo
y = 1
Uma solução particular é
(x0,y0,z0) = (0,1,0)

Passo 4

Agora achamos a solução geral da homogênea
23x + 4y + 17z = 0
Isolamos y:
4y = -23x -17z Longrightarrow y = -23x + 17z4
Para y inteiro é preciso
23x + 17z equiv 0 pmod4
Como 23equiv3pmod4 e 17equiv1pmod4, isso vira
3x + z equiv 0 pmod4 Longrightarrow z = 4k - 3x, kinZ
Substituindo em y:
y = -23x + 17(4k-3x)4 = -23x + 68k -51x4 = --28x + 68k4 = 7x - 17k

Passo 5

A solução geral da homogênea é
x = s, y = 7s -17k, z = 4k - 3s, s,kinZ
Somando a solução particular (0,1,0), a solução geral da equação original é
x = s, y = 1 + 7s -17k, z = 4k - 3s, s,kinZ

Resposta

A família de soluções inteiras é
l(x,y,zr) =l(s,;1+7s-17k,;4k-3sr), s,kinZ
Por exemplo, s=0, k=0 (x,y,z)=(0,1,0), que de fato satisfaz 46cdot0+8cdot1+34cdot0=8.

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