Achar partial fpartial x e fy para as seguintes funções:
x^3 y^2-x^2-e^y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = x^3y^2 - x^2 - e^y
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e fy. Para isso vamos usar as regras de derivação: na derivada em relação a x tratamos y como constante (regra do produto e power rule) e na derivada em relação a y tratamos x como constante (power rule e derivada de exponencial).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x derivamos termo a termo em relação a x, mantendo y fixo:
  • partialpartial x(x^3y^2) = 3x^2y^2 (power rule multiplicado por y^2)
  • partialpartial x(-x^2) = -2x
  • partialpartial x(-e^y) = 0 (pois e^y não depende de x)
Logo,
partial fpartial x = 3x^2y^2 - 2x

Passo 3

Para calcular fy = partial fpartial y derivamos termo a termo em relação a y, tratando x como constante:
  • partialpartial y(x^3y^2) = x^3cdot 2y = 2x^3y
  • partialpartial y(-x^2) = 0
  • partialpartial y(-e^y) = -e^y
Portanto,
partial fpartial y = 2x^3y - e^y

Resposta

partial fpartial x = 3x^2y^2 - 2x, partial fpartial y = 2x^3y - e^y

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