Seja f uma função duas vezes derivável e y(x)=f(e^2 x). Calcule y^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado dá
y(x)=fl( e^2xr)
e pede y''(x).
O que vamos usar aqui é a regra da cadeia para derivar uma composição e, depois, a regra do produto para a segunda derivada.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, seja
u(x)= e^2x,
assim y(x)=fl(u(x)r). Então
y'(x)=f'l(u(x)r),u'(x)
Como
u'(x)=ddxl( e^2xr)=2, e^2x,
segue
y'(x)=2, e^2x;f'l( e^2xr)

Passo 3

Agora vamos derivar
y'(x)=2, e^2x;f'l( e^2xr)
usando a regra do produto. Defina
A(x)=2, e^2x, B(x)=f'l( e^2xr)
Então
A'(x)=ddxl(2, e^2xr)=4, e^2x,
B'(x)=ddxl[f'l( e^2xr)r] =f''l( e^2xr),ddxl( e^2xr) =2, e^2x;f''l( e^2xr)
Aplicando
y''(x)=A'(x),B(x)+A(x),B'(x)
obtemos
y''(x) =4, e^2x;f'l( e^2xr) +l(2, e^2xr)cdotl(2, e^2xr);f''l( e^2xr)

Resposta

y''(x) =4, e^2x;f'l( e^2xr) +4, e^4x;f''l( e^2xr)

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