Escolha g(y) para que f(x, y)=e^c x g(y) satisfaza as equações:
fx x=4 fy y.

Passo 1

O enunciado nos dá a PDE
fxx ;=; 4,fyy
e uma forma proposta
f(x,y) ;=; e^c,x,g(y)
O conteúdo é resolver uma PDE por separação de variáveis, reduzindo a um EDO para g(y).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Primeiro, em relação a x:
fx = partialpartial xl(e^c xg(y)r) = c,e^c xg(y),
fxx = partialpartial xl(c,e^c xg(y)r) = c^2,e^c xg(y)
Agora em relação a y:
fy = e^c xg'(y), fyy = e^c xg''(y)

Passo 3

Substituindo na PDE fxx=4,fyy obtemos
c^2,e^c xg(y) ;=; 4,e^c xg''(y)
Como e^c xneq0, podemos cancelar esse fator, restando a EDO
c^2,g(y) = 4,g''(y)

Passo 4

Reescrevendo a EDO em forma padrão:
g''(y) - c^24,g(y) = 0
O polinômio característico é
r^2 - c^24 = 0 Longrightarrow r = pm c2
Logo, a solução geral é
g(y) = A,e^c2,y ;+; B,e^-c2,y,
com A,B constantes arbitrárias.

Resposta

g(y) = A,e^c2y + B,e^-c2y,
onde A e B são constantes.

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