Determine a segunda derivada de:
y=(1+1x)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = l(1 + 1xr)^2
e pede a segunda derivada y''. Para isso vamos usar as regras de potência (power rule) e cadeia (chain rule) para achar y', e depois produto (product rule) e potência de novo para achar y''.

Passo 2

Primeiro reescrevemos
y = l(1 + x^-1r)^2
Aplicando a cadeia:
y' = 2l(1 + x^-1r)cdotddxl(1 + x^-1r) = 2l(1 + x^-1r)cdot(-1)x^-2 = -2l(1 + x^-1r)x^-2
Para simplificar, note que 1 + x^-1 = x+1x, então
y' = -2 x+1xcdot 1x^2 = -2,x+1x^3

Passo 3

Agora usamos produto para derivar
y' = -2,(x+1),x^-3
Seja u = x+1 e v = x^-3. Então
u' = 1, v' = -3x^-4,
e
ddxl(u,vr) = u',v + u,v' = x^-3 + (x+1),(-3x^-4) = x^-3 -3(x+1)x^-4
Colocando sobre o mesmo denominador:
x^-3 -3(x+1)x^-4 = x^-4l(x - 3(x+1)r) = x^-4(-2x - 3) = -2x+3x^4
Lembrando o fator -2 que estava em y', temos
y'' = -2 cdot l(-2x+3x^4r) = 2(2x+3)x^4

Resposta

y'' = 2(2x+3)x^4

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