Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de superfície?
(a) Um gráfico de uma função de duas variáveis,
(a) Um gráfico de uma função de duas variáveis,
Passo 1
A questão pede o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, isto é, à superfície definida por
. Vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e da aproximação linear de funções de várias variáveis.
Passo 2
Para caracterizar o plano tangente, calculamos as derivadas parciais de
:
Elas medem a inclinação da superfície nas direções de
e de
.
Passo 3
Escolhemos um ponto de interesse
na região de definição de
. Avaliamos ali:
O ponto
está sobre a superfície.
Passo 4
A partir da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de
em torno de
, o plano tangente fica:
Ou seja, substituindo
e
:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é