Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de superfície?
(a) Um gráfico de uma função de duas variáveis, z=f(x, y)

Passo 1

A questão pede o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, isto é, à superfície definida por z = f(x,y). Vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e da aproximação linear de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para caracterizar o plano tangente, calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partial fpartial x(x,y),
fy(x,y)=partial fpartial y(x,y)
Elas medem a inclinação da superfície nas direções de x e de y.

Passo 3

Escolhemos um ponto de interesse (x0,y0) na região de definição de f. Avaliamos ali:
z0 = f(x0,y0),
A = fx(x0,y0),
B = fy(x0,y0)
O ponto (x0,y0,z0) está sobre a superfície.

Passo 4

A partir da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de f em torno de (x0,y0), o plano tangente fica:
z - z0 = A,(x - x0) + B,(y - y0)
Ou seja, substituindo A e B:
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Resposta

O plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) é
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)

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