Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=yt ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=sec t
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=2 e^t-1-1
y(t)=t^22
y(t)=2-e^-3(t-1)
y(t)=e^2(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial $ y’ = \frac{y}{t} $ e a condição inicial $ y(1) = 1 $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ t $ para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Temos:
y
Dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dt $, fica:
t

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação:
integral 1y , dy = integral 1t , dt
As integrais de $ \frac{1}{y} $ e $ \frac{1}{t} $ são:
1y
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para $ y $. Primeiro, eliminamos os logaritmos aplicando a exponenciação:
y
Isso simplifica para:
e^ln|y| = e^ln|t| + C
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma constante $ K $ (já que $ e^{C} $ é apenas uma constante qualquer):
|y| = e^C cdot |t|

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar $ K $:
y(1) = 1
Então, a solução da equação diferencial é:
K

Resposta

Nenhuma das demais alternativas.

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