Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem a equação diferencial $ y’ = \frac{y}{t} $ e a condição inicial $ y(1) = 1 $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ t $ para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Temos:
Dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dt $, fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação:
As integrais de $ \frac{1}{y} $ e $ \frac{1}{t} $ são:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para $ y $. Primeiro, eliminamos os logaritmos aplicando a exponenciação:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma constante $ K $ (já que $ e^{C} $ é apenas uma constante qualquer):
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar $ K $:
Então, a solução da equação diferencial é:
Resposta
Nenhuma das demais alternativas.