Resolva a equação diferencial:
Dica: Encontre os quatro primeiros termos do desenvolvimento em serie de Taylor.
Passo 1
No problema temos a EDO
com as condições iniciais
e
. O conteúdo é desenvolvimento em série de Taylor em torno de
, e vamos precisar representar
,
e
como séries em potências de
.
Passo 2
Assumimos que
admite expansão até terceira ordem:
As condições iniciais dão imediatamente
Passo 3
Derivando duas vezes a série de
, obtemos
Passo 4
Expandimos
em torno de
. Com
e
segue
Passo 5
Formamos a série de
até
:
Igualando com a expansão de
:
Para :
Para
Para
:
Resposta
y(x)= (x-1) + \frac{1}{2,\sin1},(x-1)^2 + \frac{\sin^2 1-\cos1}{6,\sin^2 1},(x-1)^3 + O\bigl((x-1)^4\bigr)