Resolva a equação diferencial:
y^prime prime-y=cossec x, y(1)=0, y^prime(1)=1
Dica: Encontre os quatro primeiros termos do desenvolvimento em serie de Taylor.

Passo 1

No problema temos a EDO y''-y=csc x com as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=1. O conteúdo é desenvolvimento em série de Taylor em torno de x0=1, e vamos precisar representar y, y'' e csc x como séries em potências de t=x-1.

Passo 2

Assumimos que y(x) admite expansão até terceira ordem:
y(x)=sumn=0^3 an,(x-1)^n + Ol((x-1)^4r)
As condições iniciais dão imediatamente
a0=y(1)=0,
a1=y'(1)=1

Passo 3

Derivando duas vezes a série de y, obtemos
y''(x)=sumn=2^3 an,n(n-1),(x-1)^n-2+Ol((x-1)^2r) =2a2 +6a3,(x-1)+Ol((x-1)^2r)

Passo 4

Expandimos csc x=1/sin x em torno de x=1. Com t=x-1 e
sin(1+t)=sin1 +cos1,t +O(t^2),
segue
csc x=1sin(1+t)=1sin1,-,cos1sin^2 1,t+O(t^2)

Passo 5

Formamos a série de y''-y até t^1:
y''-y=(2a2 -a0)+ (6a3 -a1),t+O(t^2)
Igualando com a expansão de csc x:
Para t^0:
2a2 -a0=1sin1Rightarrow a2=12sin1
Para t^1:
6a3 -a1=-cos1sin^2 1Rightarrow a3=sin^2 1-cos16,sin^2 1

Resposta

y(x)= (x-1) + \frac{1}{2,\sin1},(x-1)^2 + \frac{\sin^2 1-\cos1}{6,\sin^2 1},(x-1)^3 + O\bigl((x-1)^4\bigr)

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